Você projetou um novo instrumento musical bastante simples, formado por uma lata metálica de comprimento L e diâmetro L / 10 . Uma conda de massa por unidade de comprimento μ é esticada de um lado ao outro do bocal aberto do tubo. A outra extremidade do tubo é fechada. para produzir o efeito musical que deseja, você quer que a frequência da onda estacionaria do terceiro harmônico na corda seja igual à frequência fundamental das ondas sonoras na coluna de ar do tubo. A velocidade das ondas sonoras nessa coluna de ar é v s . a) Qual deve ser a tensão na corda para produzir o efeito desejado? b) O que acontece com o som produzido pelo instrumento se a tensão mudar para duas vezes o valor calculado no item (a)? c) Para a tensão calculada no item (a), que outros harmônicos da corda, se houve algum, estão em ressonância com as ondas estacionarias da coluna de ar?

Passo 1

a) Bom, vamos precisar da equação de velocidade de uma onda na corda:

v c = F μ

Já que a questão pede a tensão.

Como o terceiro harmônico da corda deve estar em ressonância com a frequência fundamental das ondas sonoras na coluna, vamos expressar o terceiro harmônico da corda:

f n = n v 2 L

f 3 = 3 v c 2 d

Sendo que d é:

d = L 10

Então:

f 3 = 3 0 v c 2 L

Substituindo v c :

f 3 = 30 2 L F μ

Agora precisamos da frequência fundamental da coluna de ar, como o tubo é fechado, a equação é:

f n = n v 4 L

E como queremos a fundamental:

f 1 = v s 4 L

Agora igualamos as duas frequências, já que queremos que a corda e a coluna de ar no interior do tubo estejam em ressonância:

v s 4 L = 30 2 L F μ

Isolando F que é a tensão na corda:

F = 1 3600 μ v s 2

Passo 2

b) Se duplicarmos a tensão, a velocidade da onda vai aumentar, mudando o valor da frequência, o que faz com que o terceiro harmônico também tenha frequência diferente da frequência do estado fundamental da coluna dentro do tubo, não existindo mais ressonância, o que faz com que o som produzido pelo instrumento diminua.

Passo 3

c) Como o terceiro harmônico da corda está em ressonância com a frequência fundamental da corda, então:

f 1 t u b o = f 3 c o r d a = 3 f 1 c o r d a

Se colocarmos n dos dois lados, a gente tem:

n f 1 t u b o = 3 n f 1 c o r d a

Sendo n = 1 ,   3 ,   5 … , já que o tubo é fechado.

Ou seja, para cada harmônico n do tubo, o harmônico que estará em ressonância da corda será 3 vezes esse valor.

Resposta

a   F = 1 3600 μ v s 2

c   n f 1 t u b o = 3 n f 1 c o r d a

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