Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 8.1 - Ex. 100
Um vagão ferroviário de brinquedo, de , viajando a , dirige-se para um outro vagão, de , que está inicialmente em repouso. (a) Determine a energia cinética total do sistema de dois vagões. (b) Determine a velocidade de cada vagão no referencial do cnetro de massa e use estas velocidades para calcular a energia cinética do sistema de dois vagões no referencial do centro de massa. (c) Determine a energia cinética associada ao movimento do centro de massa do sistema. (d) Compare sua resposta da parte a) com a soma das suas respostas das partes b) e c).
Passo 1
a) Oláaa, cê tá bem?
Temos dois vagões na nossa situação. Vamos anotar os dados. A massa do vagão 1 é e a do 2 é . As velocidades iniciais deles são
Isso porque o vagão 2 está inicialmente em repouso. E o que ele pede é a energia cinética total do sistema de dois vagões.
Cara, determinar a energia cinética do sistema é calcular a energia cinética de cada corpo em movimento num dado instante e somar.
A energia cinética do nosso sistema é a energia do vagão 1, que é o único em movimento. A energia cinética é dada por
Então para o vagão 1, temos:
O vagão 2 não influencia aqui porque ele está em repouso, ou seja, tem energia cinética nula.
Passo 2
b) Para achar a velocidade de cada vagão em relação ao centro de massa, a gente precisa da velocidade do centro de massa.
A gente quer então a velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois vagões. Como não há menção de forças externas sobre eles, a gente pode usar a lei da conservação de quantidade de movimento:
Onde é a massa total do sistema, ou seja, a soma das massas de cada vagão:
representa a soma das quantidades de movimento de cada vagão. A quantidade de movimento é dada por , então essa soma para o nosso caso fica:
E é a velocidade do centro de massa do sistema que gente quer achar. Então vamos substituir e na lei da conservação:
Isolando
e substituindo os valores numéricos na equação acima:
Passo 3
Para achar as velocidades com relação ao centro de massa, tudo que a gente precisa fazer é subtrair a velocidade do centro de massa da velocidade no referencial em relação ao solo:
A energia cinética com relação ao centro de massa é o sistema é a soma das energias cinéticas de cada vagão. Só que agora a gente usa a velocidade de um vagão relativa ao centro de massa do sistema, então a energia cinética de um vagão vai ser:
Logo, a energia do sistema vai ser:
Percebe que agora os dois vagões influenciam na energia porque os dois tem velocidade não nula em relação ao centro de massa. Substituindo os valores:
Passo 4
c) A energia cinética do centro de massa é dada por:
Ou seja, a gente usa a fórmulinha da energia cinética, mas a massa vai ser a massa total do sistema e a velocidade é a velocidade do centro de massa
Passo 5
d) Essa foi nossa resposta na a)
A soma das energias encontradas nas letras b) e c) é:
Percebemos que
E isso está de acordo com a energia cinética de um sistema que diz que a energia cinética total do sistema é igual a energia cinética do centro de massa do sistema mais a energia relativa ao centro de massa de cada objeto do sistema .