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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 19.Exercícios e Problemas - Ex. 5

A vida média de um núcleo radioativo é τ . Quanto vale t 2 - ?

Passo 1

E aí bonit@s, como vocês estão? Prontos pra mais uma questãozinha bacana?

Vamos lá, primeiramente devemos nos lembrar que o decaimento radioativo é dado por

d m d t = - λ ⋅ m t

Sabendo que inicialmente temos uma massa m 0 , ou seja, m 0 = m 0 nós chegamos na seguinte expressão para m t

m t = m 0 ⋅ e - λ t

Passo 2

Pois bem, O valor médio τ é o tempo médio dessa função, entretanto precisamos analisa-la como uma função estatística, pois o decaimento a nível quântico é uma função estatística. É necessário normalizar m ( t ) , para isso fazemos:

n t = A ⋅ m t

∫ 0 ∞ n t   d t = 1 →   ∫ 0 ∞ A ⋅ m t   d t = 1 → ∫ 0 ∞ A ⋅ m 0 ⋅ e - λ t   d t = 1

A ⋅ m 0 ∫ 0 ∞ e - λ t   d t = 1 → A ⋅ m 0 ⋅ - e - λ t λ 0 ∞ = 1 → A ⋅ m 0 λ = 1 → A = λ m 0

Sendo assim, nossa equação normalizada será:

n t = λ ⋅ e - λ t

Passo 3

Então meus caros, agora somos capazes de calcular o tempo médio de vida para nosso núcleo radioativo

t - = ∫ 0 ∞ t ⋅ n t   d t = ∫ 0 ∞ t ⋅ λ ⋅ e - λ t d t

Para resolvermos essa integral vamos utilizar a integração por partes da seguinte forma

u = t ; d u = d t d v = e - λ t   d t ;         v = - e - λ t λ

Assim, nossa integral fica sendo

λ ⋅ ∫ 0 ∞ t ⋅ e - λ t d t = λ ⋅ - t e - λ t λ 0 ∞ + ∫ 0 ∞ e - λ t λ d t = λ ⋅ - e - λ t λ 2 0 ∞ = 1 λ

→ t - = 1 λ = τ

Passo 4

Por fim, para concluirmos agora temos total condição de calcular t 2 - da mesma forma como fizemos para t -

t 2 - = ∫ 0 ∞ t 2 ⋅ n t d t = λ ⋅ ∫ 0 ∞ t 2 ⋅ e - λ t d t

Integrando por partes teremos

u = t 2 ; d u = 2 t   d t d v = e - λ t   d t ;         v = - e - λ t λ

t 2 - = λ ⋅ ∫ 0 ∞ t 2 ⋅ e - λ t d t = λ ⋅ - t 2 ⋅ e - λ t λ 0 ∞ + ∫ 0 ∞ 2 t ⋅ e - λ t d t = 2 λ ⋅ ∫ 0 ∞ t ⋅ e - λ t

→ t 2 - = 2 λ ⋅ - e - λ t λ 2 0 ∞ = 2 λ = 2 τ

Pronto, exercício finalizado. Bem tranquilo, né?

Resposta

t 2 - = 2 τ

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