Enunciado
Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas Adicionais - Ex. 73
Em um videogame, um ponto é programado para se deslocar na tela de acordo com a função , onde é a distância em centímetros em relação à extremidade esquerda da tela e é o tempo em segundos. Quando o ponto chega a uma das bordas da tela, ou , o valor de é zerado e o ponto começa novamente a se mover de acordo com a função . (a) Em que instante após ser iniciado o movimento o ponto se encontra momentaneamente em repouso? (b) Para que valor de isso acontece? (c) Qual é a aceleração do ponto (incluindo o sinal) no instante em que isso acontece? (d) O ponto está se movendo para a direita ou para a esquerda pouco antes de atingir o repouso? (e) O ponto está se movendo para a direita ou para a esquerda pouco depois de atingir o repouso? (f) Em que instante o ponto atinge a borda da tela pela primeira vez?
Passo 1
O problema nos da a posição da partícula em função do tempo:
Restringindo os valores de de a .
O problema nos pede o instante após iniciado o movimento em que o ponto está momentaneamente parado, ou seja, o instante em que a velocidade é zero. Para isso, temos que lembrar que podemos encontrar a função da velocidade do ponto através da seguinte definição:
Com a função da velocidade em mãos, consideramos e aí achamos o instante em que o ponto está em repouso ().
Além disso, o problema pede a posição e a aceleração do ponto em que isso acontece e se o movimento está para direita ou para esquerda antes e depois de atingir o repouso.
Por fim, o problema pede o instante () em que o ponto atinge a borda pela primeira vez, ou seja, o instante em que o ponto está na posição .
Passo 2
Vamos encontrar a função da velocidade do ponto:
Com a função da velocidade em mãos, vamos encontrar o instante em que .
Isolando o , encontramos:
Como o tempo não pode ser negativo, então só pode ser a solução positiva da raíz quadrada e, portanto, o instante em que o ponto está momentaneamente em repouso é:
Passo 3
Para encontrarmos a posição em que o ponto se encontra quando está em repouso (), basta substituir o tempo , encontrado no passo anterior, na função da posição dada no enunciado do problema:
Passo 4
Para encontrar a aceleração no instante em que o ponto está em repouso (), primeiro precisamos encontrar a função da aceleração. Para isso, precisamos lembrar que:
Com essa relação em mente, basta derivar a função da velocidade encontrado no passo :
Usando o instante calculado também no passo , encontramos a aceleração no instante pedido:
Passo 5
Podemos afirmar que a partícula antes do instante em que ela se encontra momentaneamente em repouso está se movimentando no sentido contrário à aceleração, ou seja, está indo para a direita, pois, caso contrário, se o movimento estivesse no mesmo sentido da aceleração, ela nunca ficaria momentaneamente parado (nunca perderia velocidade, iria apenas acelerar).
Passo 6
Seguindo o mesmo raciocínio do passo , podemos afirmar que no instante após o repouso a partícula está se movimentando para a esquerda.
Passo 7
Considerando que ele parte da posição , sendo este a posição de uma das bordas, e que a outra borda está localizada em e sabendo também que a posição máxima que o ponto alcança foi calculada no passo , que é a posição de retorno , então o ponto tocará a borda pela primeira vez após o início do movimento na borda localizada em .
Portanto, para calcular o tempo em que o ponto atinge o ponto , basta substituir na função de movimento dada no problema:
Substituindo :
Como , então:
Resposta
- ;
- ;
- ;
- Direita;
- Esquerda;
- s.