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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 76

Uma viga uniforme é suspensa horizontalmente por duas molas verticais idênticas presas entre o teto e ambas as extremidades da viga. Esta possui massa igual a 225 kg, e um saco de cascalho de 175 kg descansa sobre seu centro. A viga está oscilando em MHS, com amplitude de 40,0 cm e frequência de 0,600 ciclo/s. (a) O saco de cascalho cai da viga quando esta atinge seu máximo deslocamento para cima. Quais são a frequência e a amplitude do MHS subsequente da viga? (b) Se, em vez disso, o cascalho cair quando a viga atingir sua velocidade máxima, quais serão a frequência e a amplitude do MHS subsequente da viga?

Passo 1

Faaaaala galera, beleza? bora iniciar mais uma questão com a gente!

Para essa questão temos os seguintes dados:

- Massa do balde: m v i g a = 2 25   k g ;

- Massa da água: m s a c o = 1 75   k g ;

- Constante de força da mola: K = 450   N / m ;

- Amplitude de oscilação: A = 40   c m ou 40 × 10 - 2   m ;

- Frequência do movimento: f = 0,6   c i c l o s / s

Bem galera, com isso temos que a massa total do sistema é dada por:

M = m v i g a ​ + m s a c o = 400   k g

Sabemos que frequência do MHS é dada por:

f = 1 2 π K M  

Onde K é a constante de força da mola e M ​é a massa do sistema. Ao reorganizar a equação acima, para a constante de força da mola, obtemos:

K = 4 π 2 × M × f 2

= 4 π 2 × 400   k g × 0,6 c i c l o s s 2

5684,9   N m - 1

Letra a)

Quando o saco cai da viga, apenas a massa da viga é presa à mola. Assim, a frequência do feixe será:

f = 1 2 π K m v i g a  

Substituindo temos:

= 1 2 π 5684,9 225

f = 0,8 c i c l o s s

Sabemos que no equilíbrio, a força devido à gravidade é equilibrada pela força devido ao ramo no sistema. Assim, o deslocamento do sistema combinado ( m v i g a ​ + m s a c o ) pode ser calculado como:

K x 0 = m g

Dessa forma:

x 0 = m g K

x 0 = 400   k g × 9,8   m s - 2 5684,9   N m - 1

x 0 = 0,69   m

Mas a amplitude do MHS é 4 0 × 10 - 2   m , portanto a mola é esticada por:

x 1 = x 0 - A

x 1 = 0,69 - 0,4

x 1 = 0,29   m

Agora, o deslocamento do sistema quando o sistema contém apenas o feixe:

x 2 = m v i g a × g K

= 225   k g × 9,8   m s - 2 5684,9   N m - 1

x 2 = 0,39   m

Dessa forma, temos que a amplitude do MHS da viga será:

A v i g a = x 2 - x 1

= 0,39 - 0,29

A v i g a = 0,1   m

Passo 2

Agora a gente tem a seguinte situação, se, em vez disso, o cascalho cair quando a viga atingir sua velocidade máxima, quais serão a frequência e a amplitude do MHS subsequente da viga?

Pra isso temos que:

f = 1 2 π K m v i g a  

= 1 2 π 5684,9 225

f = 0,8 c i c l o s s

Agora, como sabemos a velocidade v x em qualquer deslocamento x é dado por:

v x = ± K m A 2 - x 2  

Como a velocidade máxima do objeto ocorre quando ele está se movendo por x = 0 , portanto, a velocidade máxima será:

v m a x = ± K m A 2  

v m a x = ± 5684,9   N m - 1 400   k g × 0,4   m  

v m a x = ±   1,51   m s - 1

Como sabemos, a energia total do objeto sob MHS é dada por:

E t o t a l = 1 2 m v x 2 + 1 2 k x 2 + m g h

Como na velocidade máxima h = 0 e x = 0 ​, temos:

E t o t a l   1 = 1 2 × 225   k g × 1,51   m s - 1 2 + 1 2 × 5684,9   N m - 1 × 0,69   m 2

E t o t a l   1 = 1609,8   J

Agora na amplitude máxima a velocidade v x = 0 e x = x 0 - h , portanto, obtemos:

E t o t a l   2 = 0 + 1 2 k ( x 0 - h ) 2 + m g h

Portanto, de acordo com a lei de conservação de energia, obtemos:

E t o t a l   1 = E t o t a l   2

Dessa forma temos:

1609,8 = 1 2 k ( x 0 - h ) 2 + m g h  

( x 0 - h ) 2 + 2 m g K h - 3219,6   J k = 0

( x 0 - h ) 2 + 2 225 k g × 9,8   m s - 2 5684,9 N m - 1 h - 3219,6   J 5684,9 N m - 1 = 0

0,69   m - h 2 + 0,78   m h - 0,57   m 2 = 0

Resolvendo temos que h é:

h = 0,73   m

Portanto, a compressão na mola será:

x m o l a = h - x 0

= 0,73 - 0,69

= 0,04   m

Logo, a amplitude do MHS quando o saco cai quando a viga atinge sua velocidade máxima será:

A = x 2 + x m o l a

A = 0,39   m + 0,04   m  

A = 0,43   m

Demorou né? Mas a gente conseguiu! Te vejo na próxima! =)

Resposta

Letra a)

f = 0,8 c i l c o s s

A v i g a = 0,1   m

Letra b)

f = 0,8 c i l c o s s

A = 0,43   m

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