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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.5 - Ex. 120

A haste esbelta uniforme de comprimento 2 ⋅ b é sustentada no plano horizontal por uma suspensão bifilar. A haste é colocada em oscilação com ângulos pequenos em torno do eixo vertical através de seu centro O . Desenvolva a expressão para o período τ da oscilação. (Sugestão: A partir do esboço auxiliar, observe que a haste se eleva de uma distancia h correspondente a uma rotação angular θ . Observe também que l ⋅ β = b ⋅ θ para ângulos pequenos e que cos ⁡ β pode ser substituído pelos dois primeiros termos da sua expansão em série. Uma solução harmônica simples da forma θ = θ 0 ⋅ sin ⁡ ω n ⋅ t pode ser utilizada para ângulos pequenos.)

Passo 1

Para esse problema usaremos a conservação de energia para o momento inicial e final das hastes para encontrarmos o período das oscilações.

Passo 2

Por conservação de energia, temos que

T m í n + U m á x = T m á x + U m í n

Mas temos que U m í n = T m í n = 0 . Assim, ficamos com

T m á x = U m á x

Nossa potencial máxima pode ser dada por U m á x = m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ l ⋅ 1 - cos ⁡ β o . Abrindo uma expansão de Taylor, ficamos que

1 - cos ⁡ β o = 1 - 1 - β o 2 2 ! + …

Assim, temos que nossa equação ficará considerando apenas os dois primeiros termos da expansão:

U m á x = 1 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ l ⋅ β o 2

Só que pelo desenho, vemos que l ⋅ β o ≈ b ⋅ θ o . Assim, nossa equação ficará

U m á x = 1 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ b 2 l ⋅ θ o 2

Sendo θ o o ângulo máximo de giro. Analisando agora a energia cinética do problema, temos que

T m á x = 1 2 ⋅ I o ⋅ θ ˙ m á x 2

Outra informação que temos de exercícios anteriores é que θ ˙ = θ o ⋅ ω n ⋅ cos ⁡ ω n ⋅ t . Para pequenos ângulos, essa igualdade se torna θ ˙ = θ o ⋅ ω n . Substituindo então na nossa equação, ficaremos com

T m á x = 1 2 ⋅ I o ⋅ θ ˙ m á x 2 = 1 2 ⋅ 1 12 ⋅ m ⋅ 2 ⋅ b 2 ˙ θ o 2 ⋅ ω n 2

T m á x = 1 6 ⋅ m ⋅ b 2 ⋅ θ o 2 ⋅ ω n 2

Igualando as duas equações agora, temos que

1 6 ⋅ m ⋅ b 2 ⋅ θ o 2 ⋅ ω n 2 = 1 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ b 2 l ⋅ θ o 2

ω n = 3 ⋅ g l

τ = 2 ⋅ π ω n = 2 ⋅ π ⋅ l 3 ⋅ g

Resposta

τ = 2 ⋅ π ⋅ l 3 ⋅ g

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