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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 40

Em 2005, foi anunciada a descoberta de um grande buraco negro na galáxia Markarian 766. Esse buraco negro possuía blocos de matéria completando uma órbita a cada 27 horas e movendo-se a 30.000 km/s. (a) A que distância do centro do buraco negro esses blocos estão? (b) Qual é a massa desse buraco negro, supondo órbitas circulares? Dê a resposta em quilogramas e como um múltiplo da massa do nosso Sol. (c) Qual é o raio do horizonte de eventos desse buraco negro?

Passo 1

Faaaaala meu povo, bora iniciar mais um livrinho com a gente!

Letra a)

Bem galera, para resolver este item temos que o tempo T para uma órbita está relacionado com a velocidade que os aglomerados que se movem em órbita ao redor do buraco negro e é dado pela equação (12.12) do nosso livro, na forma:

T = 2 π r v

Onde r é o raio da órbita e representa a distância entre os aglomerados e o centro do buraco negro. Colocando a equação em função de r , temos:

r = v T 2 π

Observe que, no horizonte de eventos, os aglomerados se movem com a velocidade da luz ( v = c ). Além disso, o tempo é dado em horas, portanto, em segundos é dado por:

T = 27   h o r a s   → 9,72 × 10 4   s e g u n d o s

Dessa forma, basta substituir os valores de v e T na equação, logo:

r = ( 3 × 10 7 m / s ) ( 9,72 × 10 4   s ) 2 π

r = 4,64 × 10 11   m

Passo 2

Letra b)

Note que a equação (12.12) estabelece a relação entre o período T e a distância r na forma:

T = 2 π r ( 3 / 2 ) G M

Onde M é a massa do buraco negro e G é a constante geral da gravidade e é igual a 6,673 × 10 - 11   N m 2 / k g 2 . Reescrevendo a equação em função de M , teremos:

M = 4 π 2 r 3 T 2 G

Substituindo os valores na equação, a gente vai ter que:

M = 4 π 2 4,64 × 10 11   m 3 ( 9,72 × 10 4   s ) ( 6,673 × 10 - 11   N m 2 / k g 2 )

(Obs: note que é sempre interessante colocarmos as unidades de medidas juntos para sabermos a unidade final daquilo que estamos calculando. Nesse caso ficaria bem simples, mas em outras questões isso pode quebrar um galho.)

Seguindo, teremos:

M = 6,26 × 10 36   k g

A massa do Sol é M s o l = 1,99 × 10 30   k g , então em termos da massa do Sol, a massa do buraco negro é:

M b u r a c o   n e g r o = 6,26 × 10 36   k g M s o l 1,99 × 10 30   k g = 1,99 × 10 30   k g

Passo 3

Letra c)

Para uma massa esférica M com um raio menor que seu raio de Schwarzschild, é considerado um buraco negro que atrai tudo até a luz e impede que ela escape dentro desse raio. A equação (12.30) do nosso livro mostra o raio do horizonte de eventos em termos de sua massa M na forma:

R s = 2 G M c 2

Onde R s é o raio do horizonte de eventos, c é a velocidade da luz e G é a constante gravitacional e é igual a 6,673 × 10 - 11   N m 2 / k g 2 . Nosso objetivo é encontrar R s , então colocamos os valores para G , M e c na equação. Teremos:​

R s = 2 (   6,673 × 10 - 11   N m 2 / k g 2 ) ( 6,26 × 10 36   k g ) 3 × 10 8   m / s 2

R s = 9,28 × 10 9   m

E assim a gente finaliza mais uma questão 😊. Tudo certinho? Te vejo na próximaaaaa!

Resposta

Letra a)

r = 4,64 × 10 11   m

Letra b)

M b u r a c o   n e g r o = 6,26 × 10 36   k g M s o l 1,99 × 10 30   k g = 1,99 × 10 30   k g

Letra c)

R s = 9,28 × 10 9   m

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