Enunciado

Você e seus amigos empurram um porco engordurado de 75,0   k g para cima sobre um escorregador de alumínio na feira local, começando da extremidade inferior do escorregador. O coeficiente de atrito cinético entre o porco e o escorregador é 0,070 . (a) Todos vocês estão empurrando juntos (paralelamente à inclinação), e conseguem acelerar o porco a partir do repouso à taxa constante de 5,0   m / s 2 por uma distância e 1,5   m , e então soltam o porco. O porco continua subindo o escorregador até atingir uma altura vertical máxima acima do ponto onde foi solto, a 45   c m de altura. Qual é o ângulo de inclinação do escorregador? (b) Na altura máxima o porco inverte o seu sentido e começa a escorregar para baixo, quão rápido ele está se movendo quando chega na extremidade inferior do escorregador?

Passo 1

a) Olá, querido! Tá bem? Então, temos um porquinho sendo empurrado por uma rampa. Ele sai do repouso e atinge uma velocidade v 0 depois de ser empurrado por 1,5 m com uma aceleração a = 5   m / s 2 .

Depois de atingir v 0 , ele não é mais empurrado mas continua a subir, até que atinge a altura máxima de h m á x = 0,45   m em relação ao ponto onde tinha v 0 .

Um esqueminha do que aconteceu é:

Repara que o eixo x está na direção da trajetória.

E aí o que ele pede é o valor de θ . Bora descobrir!

Passo 2

Vamos começar pensando no trecho que o porco sobe após ser empurrado por 1,5   m .

Ao ser solto, ele tem uma velocidade inicial v 0 , e vai “frear” depois de percorrer uma distância Δ x até parar no topo da sua trajetória. Então a gente tem um movimento acelerado. Como não temos o tempo, podemos usar a equação de Torriceli:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ x

A velocidade no ponto máximo é nula v = 0 :

0 = v 0 2 + 2 a Δ x   i

Onde a é a aceleração do porco “livre” (depois de ser solto).

Ok, e como podemos achar a velocidade v 0 ? Essa é a velocidade que o porco ganha depois de ser acelerado a 5,0   m / s 2 por 1,5   m partindo do repouso. Vamos usar Torriceli de novo, mas agora para esse trecho:

v 0 2 = v i n i c i a l 2 + 2 a i n i c i a l Δ x i n i c i a l

Nesse caso, v i n i c i a l = 0 porque o porco sai do repouso, v 0 é a velocidade no final do percurso, a i n i c i a l = 5   m / s 2 e Δ x i n i c i a l = 1,5   m . Substituindo:

v 0 2 = 0 + 2 5,0 1,5 = 15

Substituindo isso na equação i :

0 = v 0 2 + 2 a Δ x

0 = 15 + 2 a Δ x   i i

Passo 3

O enunciado também dá a altura máxima h m á x que ele sobe enquanto anda uma distância Δ x pelo plano, como estamos em um plano inclinado, a relação entre Δ x e h pode ser achado por trigonometria:

Daí tiramos:

h m á x Δ x = s e n   θ

Δ x = h m á x sen ⁡ θ

Então a equação i i fica:

0 = 15 + 2 a Δ x

0 = 15 + 2 a h m á x sen ⁡ θ   i i i

E fica faltando encontrar uma expressão para a aceleração a do porco livre.

Passo 4

Quem causa a desaceleração do porco é o atrito entre ele e a rampa. Então teremos uma força de atrito se opondo ao movimento dele, que está subindo a rampa. Então a força aponta para o sentido oposto:

A partir desse diagrama, a gente pode usar a segunda lei de Newton e achar a x . Vamos assumir o sistema de coordenadas como está indicado na figura acima. A única força que não está nos eixos é a força peso, então devemos decompô-la nos eixos x e y, dessa forma:

F g x = F g   s e n θ

F g y = F g c o s θ

De acordo com a 2° Lei de Newton no eixo x, temos:

∑ F x = m a

- f k - F g s e n θ = m a

As duas forças aparecem negativas no somatório porque ambas apontam para o sentido negativo de x . Lembrando que F g = m g :

- f k - m g s e n θ = m a

Só que essa força de atrito é a força de atrito cinético, que vale

f k = μ k F n

Onde μ k é o coeficiente de atrito cinético dado no enunciado. Substituindo

- μ k F n - m g s e n θ = m a   I

Falta a gente achar F n .

Passo 5

A 2° Lei de Newton em y, como a soma das forças em y é igual a zero, já que a y = 0 , pois o porco não se move em y , fica:

∑ F y = m a y

∑ F y = F n - F g c o s θ = 0

∑ F y = F n - m g c o s θ = 0

F n = m g c o s θ

Substituindo isso em I :

- μ s F n - m g s e n θ = m a   I

- μ k m g c o s θ - m g s e n θ = m a   I

Isolando a :

a = - ( s e n θ + μ k c o s θ ) g

Substituindo na equação i i do passo 3

0 = 15 + 2 a h m á x sen ⁡ θ   i i i

0 = 15 + - 2 g sen ⁡ θ + μ k cos ⁡ θ h sen ⁡ θ

0 = 15 - 2 g h - 2 g μ k h tan ⁡ θ

Isolando tan ⁡ θ (já que a gente quer θ ):

tan ⁡ θ = 2 g μ k h 15 - 2 g h

tan ⁡ θ = ( 2 ) ( 9,81 ) ( 0,070 ) ( 0,45 ) 15 - ( 2 ) ( 9,81 ) ( 0,45 ) = 0,10015

θ = 5,7 °

Passo 6

(b) Agora queremos saber a rapidez do porco quando ele chega no final da rampa, depois de descer lá da altura máxima. Ou seja, a rapidez quando ele chega no ponto onde começou a ser empurrado.

Nessa descida, a distância percorrida vai ser 1,5 m (que é a distância que ele foi empurrado) mais Δ x (a distância que ele subiu), só ambas serão deslocamentos negativos porque estão no sentido contrário de x :

Δ s = - 1,5 + Δ x

Δ s = - 1,5 + h m á x sen ⁡ θ

A velocidade inicial desse novo percurso é zero.

E só precisamos fazer uma pequena mudança na nossa aceleração de porco livre para achar a 2 , já que o sentido da força de atrito para o novo percurso vai ser igual porém apenas invertida. Então a gente vai pegar nossa expressão de a e apenas mudar o sinal do termo que tem o coeficiente de atrito:

a = - ( s e n θ + μ k c o s θ ) g

a 2 = - g sen ⁡ θ - μ k cos ⁡ θ

Agora é só substituir na mesma equação de Torriceli para saber a velocidade do porco no final do percurso:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

v 2 = 0 - 2 g sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ - 1,5 - 0,45 sen ⁡ θ

Substituindo os dados:

v 2 = - 2 9,81 sen ⁡ 5,7 ° - 0,07 cos ⁡ 5,7 ° - 1,5 - 0,45 sen ⁡ 5,7 °

v 2 = 3,51

v ≅ 1,9   m / s

Resposta

(a) θ = 5,7 ° .

(b) v = 1,9   m / s .

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