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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 74

Duas estrelas idênticas, cada uma com massa M 1 e a outra com massa M 2 , descrevem uma órbita circular em torno do centro de massa delas. A estrela de massa M 1 possui órbita com raio R 1 , e a estrela de massa M 2   possui uma órbita com raio R 2 .

a) Mostre que a razão entre os raios orbitais das dias estrelas é inversamente proporcional à razão entre suas masas, ou seja, mostre que R 1 R 2 = M 2 M 1 . b) Explique por que as duas estrelas possuem o mesmo período orbital e mostre que o período T é dado por c) As duas estrelas de um certo sistema de estrela binária descrevem órbitas circulares. A primeira estrela, Alfa, possui velocidade orbital igual a 12,0 km/s. O período orbital é igual 137 d. Calcule a massa de cada uma das duas estrelas.

d) Presume-se que um dos melhores candidatos a buraco negro se encontem no sistema binário denominado A0620-0090. Os dois corpos desse sistema são uma estrela laranja, V616 Monocerotis, e um corpo compacto que parece ser um buraco negro (Figura 12.22). O período orbital do binário A0620-0090 é igual a 7,75 horas. Estima-se que a massa de V616 Monocerotis seja igual a 0,67 vez a massa do Sol, e que a massa do buraco negro seja igual a 3,8 vezes a massa do Sol. Supondo que as órbitas sejam circulares. Calcule o raio da órbita e a velocidade orbital de cada um desses corpos. Compare suas respostas com o raio orbital e com a velocidade da Terra em sua órbita em torno do Sol.

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos um enunciados gigantesco, mas basicamente aqui a gente tem duas estrelas orbitando em torno dos seus próprios centros de massa. Cada uma tem massa M 1 e M 2 e o raio de suas órbitas são R 1 e R 2 respectivamente.

Na letra (a) devemos provar que:

R 1 R 2 = M 2 M 1

No item b) temos que explicar por que as duas estrelas possuem o mesmo período orbital

Já no item c) temos que calcular a massa de cada uma das duas estrelas

E por fim, no item d) temos que calcular o raio da órbita e a velocidade orbital de cada um desses corpos.

Bora colocar a mão na massa!

Passo 2

  1. Os raios R 1 e R 2 são medidos em relação ao centro de massa e, portanto,

    2. M 1 R 1 = M 2 R 2

    Consequentemente...

    R 1 R 2 = M 2 M 1 .

    Tranquilo até aqui?

    Passo 3

  2. No sistema de coordenadas do centro de massa, r c m = 0 . Aplicando F → = m a → para cada estrela, onde F é a força gravitacional de uma estrela na outra e a = a r a d = 4 π 2 R T 2 . v = 2 π R T   permite que R seja calculado a partir de v e T .

    3. As forças em cada estrela são iguais em magnitude, de modo que o produto da massa e as acelerações radiais são iguais:

    4 π 2 M 1 R 1 T 1 2 = 4 π 2 M 2 R 2 T 2 2 .

    A partir do resultado da parte (a), os numeradores dessas expressões são iguais e, portanto, o

    denominadores são iguais e os períodos são os mesmos. Para encontrar o período na forma simétrica desejada, existem muitas rotas possíveis. Um método elegante, usando um pouco de retrospectiva, é usar as expressões acima para relacionar os períodos à força

    F g = G M 1 M 2 R 1 + R 2 2 ,

    para que expressões equivalentes para o período sejam

    M 2 T 2 = 4 π 2 R 1 R 1 + R 2 2 G

    E

    M 1 T 2 = 4 π 2 R 2 R 1 + R 2 2 G .

    Adicionando as expressões dá:

    M 1 + M 2 T 2 = 4 π 2 R 1 + R 2 3 G

    Ou

    T = 2 π ( R 1 + R 2 ) 3 / 2 G ( M 1 + M 2 ) .

    Show!

    Passo 4

  3. Primeiro, precisamos encontrar os raios de cada órbita, dados os dados de velocidade e período. Numa órbita circular,

    4. v = 2 π R T ,

    Ou

    R = v T 2 π .

    Então,

    R α = ( 36 × 10 3   m / s ) ( 137   d ) ( 86,400   s / d ) 2 π = 6,78 × 10 10   m

    E

    R β = ( 12 × 10 3   m / s ) ( 137   d ) ( 86,400   s / d ) 2 π = 2,26 × 10 10   m .

    Agora temos que encontrar a soma das massas. Usando M α R α = M β R β , e o fato de que:

    R α = 3 R β M α + M β = 4 π 2 R α + R β 3 T 2 G

    inserindo os valores de T e os raios. Isto dá:

    M α + M β = 4 π 2 6,79 × 10 10   m + 2,26 × 10 10   m 3 137 d 86,400 s d 2 6.673 × 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2

    ⇒ M α + M β = 3,12 × 10 30   k g .

    Desde que

    M β = M α R α R β = 3 M α ,

    4 M α = 3,12 × 10 30   k g

    Ou

    M α = 7,80 × 10 29   k g

    E

    M β = 2,34 × 10 30 k g .

    Bacana, não é?

    Passo 5

  4. Deixe α referir-se à estrela e β referir-se ao buraco negro. Use os relacionamentos derivados nas partes (a) e (b):

R β = M α M β R α = 0,67 3,8 R α = 0,176 R α ,

R α + R β = M α + M β T 2 G 4 π 2 3 .

Para Monocerotis, inserir os valores para M e T e R β dá R α = 1,9 × 10 9   m , v α = 4,4 × 10 2   k m / s e para o buraco negro R β = 34 × 10 8   m ,   v β = 77   k m / s .

Como T é o mesmo, v é menor quando R é menor.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

  1. R 1 R 2 = M 2 M 1
  2. T = 2 π ( R 1 + R 2 ) 3 / 2 G ( M 1 + M 2 )
  3. M α = 7,80 × 10 29   k g   E M β = 2,34 × 10 30 k g .
  4. Para Monocerotis R α = 1,9 × 10 9   m , v α = 4,4 × 10 2   k m / s e para o buraco negro R β = 34 × 10 8   m ,   v β = 77   k m / s
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