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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 10.1 - Ex. 81

Você recebe um fino e pesado disco de metal (como uma moeda, mas maior) de 0,500 k g de massa e 0,125 m de raio. (Objetos como este são chamados de discos de Euler.) Colocando o disco sobre uma plataforma giratória, você o faz rodopiar sobre sua borda, em torno de um eixo vertical diametral, no centro da plataforma. Ao fazer isto, você segura a plataforma com a outra mão, largando-a assim que coloca o disco a rodopiar. A plataforma é um cilindro maciço uniforme de 0,250 m de raio e 0,735 k g de massa, e gira sobre mancais sem atrito. O disco tem uma rapidez angular inicial de 30   r e v / m i n . (a) O disco rodopia e cai, terminando por ficar em repouso sobre a plataforma, com seu eixo de simetria coincidindo com o da plataforma. Qual é a rapidez angular final da plataforma? (b) Qual será a rapidez angular final se o eixo de simetria do disco termina a 0,100 m do eixo da plataforma?

Passo 1

  1. A gente precisa achar um jeito de relacionar a velocidade angular da plataforma com a velocidade inicial do disco de Euler. Como não tem nenhum torque externo, a gente pode usar conservação do momento angular! No início só o disco rodava. Depois, a plataforma também vai rodar. Como rodam juntos no final, ω d f = ω p f = ω f .

    2. I d ω d i = I d ω d f + I p ω p f

    I d ω d i = I d ω f + I p ω f

    ω f = I d ω d i I d + I p

    Nós conhecemos o momento de inércia dos corpos:

    I d i s c o i n i c i a l = m r 2 4

    I d i s c o f i n a l = m r 2 2

    I p l a t a f o r m a = M R 2 2

    E a velocidade angular do disco:

    ω d i = 30 r e v m i n × 2 π   r a d r e v × 1   m i n 60   s

    ω d i = π r a d s

    Passo 2

    Agora é só substituir:

    ω f = m r 2 4 m r 2 2 + M R 2 2 × ω i

    ω f = 1 2 + 2 M m × R 2 r 2 ω i

    Substituindo valores numéricos:

    ω f = 1 2 + 2 0.735 0.500 × 0.250 2 0.125 2 π

    ω f = 0.228   r a d / s

    Passo 3

  2. Agora o eixo não é mais o centro de massa do disco! Então vamos usar o teorema dos eixos paralelos para achar o novo momento de inércia!

I d f = m r 2 2 + m L 2 = m r 2 2 + L 2

Substituindo na expressão do ω f :

ω f = m r 2 4 m r 2 2 + L 2 + M R 2 2 ω d i

ω f = 1 2 + 4 L 2 r 2 + 2 M R 2 m r 2 ω d i

Trocando pelos valores numéricos:

ω f = 1 2 + 4 0.10 2 0.125 2 + 2 0.735 0.250 2 0.500 0.125 π

ω f = 0.192   r a d / s

Resposta

  1. ω f = 0.228   r a d / s
  2. ω f = 0.192   r a d / s
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