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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 40.Exercícios - Ex. 17

Passo 1

Precisamos mostrar que psi ( x ) = A c o s ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x) + B s e n ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x) e solução da equação:

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = - (2 m E)/((h // 2 pi) ^2) Psi ( x )

E calcular (d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) para essa função de onda.

Passo 2

Por facilidade, vamos começar com a derivada.

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = (d ^2 [A c o s ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x) + B s e n ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x)])/(d x ^2)

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = (d)/(d x) {(d [A c o s ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x) + B s e n ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x)])/(d x)}

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = (d)/(d x) [- A ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi))) s e n ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x) + B ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi))) c o s ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x)]

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = - A ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi))) ^2 c o s ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x) - B ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi))) ^2 s e n ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x)

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = - ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi))) ^2 [A c o s ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x) + B s e n ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x)]

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = - (2 m E)/((h // 2 pi) ^2) [A c o s ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x) + B s e n ((sqrt(2 m E))/((h // 2 pi)) x)]

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = - (2 m E)/((h // 2 pi) ^2) Psi ( x )

Passo 3

Para sabermos se é solução, basta substituirmos essa função de onda na equação:

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = - (2 m E)/((h // 2 pi) ^2) Psi ( x )

Acabamos de encontrar o termo do lado esquerdo da igualdade. Substituindo ele:

- (2 m E)/((h // 2 pi) ^2) Psi ( x ) = - (2 m E)/((h // 2 pi) ^2) Psi ( x )

Assim, a função de onda dada é solução.

Resposta

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = - (2 m E)/((h // 2 pi) ^2) Psi ( x )

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