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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 40.Exercícios - Ex. 31

Passo 1

Sabemos que a energia de um oscilador é:

E = (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega

Além disso, sabemos que energia é:

E = (1)/(2) m v ^2

Então temos:

(1)/(2) m v ^2 = (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega

v = sqrt((2 (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega)/(m))

Logo o momento será:

p = m v = m sqrt((2 (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega)/(m))

p = sqrt(2 (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega m)

Podemos então dizer que a incerteza do momento linear será:

Delta p = sqrt(2 (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega m)

Passo 2

A energia de um oscilador clássico é dada por:

E = (1)/(2) k x ^2

E como já sabemos a energia do oscilador quântico, temos que:

(1)/(2) k x ^2 = (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega

Logo a amplitude será:

x = sqrt((2 (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega)/(k))

Podemos então escrever a incerteza como sendo:

Delta x = sqrt((2 (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega)/(k))

Passo 3

Então temos:

Delta x Delta p = sqrt((2 (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega)/(k)) sqrt(2 (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega m)

Delta x Delta p = sqrt((m)/(k)) (2 (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega)

Delta x Delta p = (1)/(omega ^()) (2 (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi)) omega)

Delta x Delta p = 2 (n + (1)/(2)) ((h)/(2 pi))

A incerteza do produto cresce com n .

Resposta

A incerteza do produto cresce com n .

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