50 . Duas estrelas de massa M e m , separadas por uma distância d , movem-se em órbitas circulares em torno de seus centros de massa (Fig. P 11.50 ). Mostre que cada estrela tem um período determinado por T 2 = 4 π 2 d 3 G   ( M + m ) . Prossiga como segue: Aplique a Segunda Lei de Newton a cada estrela. Note que a condição de centro de massa requer que M r 2 = m r 1 , em que r 1 + r 2 = d .

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

O enunciado já nos diz o que devemos fazer que é usar a segunda lei de Newton, mas por quê?

O período é dado por:

T = 2 π ω

Então vamos usar essa segunda lei para encontrar uma expressão para a velocidade já que a expressão que queremos chegar não depende dela.

Como temos movimentos circulares a força resultante dada pela força gravitacional nesse caso é igual a força centrípeta, assim:

m r ω 2 = G M m d 2

Onde d é a distância entre as estrelas que interagem.

Como as estrelas giram sempre separadas com a mesma distância elas tema mesma velocidade ω .

Passo 2

Primeiro vamos fazer a análise para a estrela de massa m , temos:

m r 1 ω 2 = G M m d 2

⇒ r 1 ω 2 = G M d 2

Agora vamos fazer para a estrela de massa M , assim:

M r 2 ω 2 = G M m d 2

⇒ r 2 ω 2 = G m d 2

Agora vamos somar as duas expressões que encontramos, assim:

( r 1 + r 2 ) ω 2 = G ( M + m ) d 2

Usando que r 1 + r 2 = d , temos:

ω 2 = G ( M + m ) d 3

Passo 3

Agora vamos encontrar T 2 , temos:

T = 2 π ω

⇒ T 2 = 4 π 2 ω 2

Substituindo o que temos para ω 2 ficamos com:

T 2 = 4 π 2 G ( M + m ) d 3

⇒ T 2 = 4 π 2 d 3 G ( M + m )

Prontinho, chegamos aonde ele queria!

Resposta

Demonstrado acima.

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