11.18P Duas estrelas, de massas M 1 e M 2 , orbitam em torno do centro comum de massa, ligadas pela interação gravitacional. Calcule o período de rotação do sistema, supondo que a distância r entre as estrelas seja constante.

Passo 1

Belezoca galerinha, como queremos saber o período de rotação, podemos usar a relação entre o período de rotação a velocidade angular ω :

T = 2 π ω

Só que essa velocidade angular, pode ser relacionada a aceleração centrípeta do movimento de rotação, dada por:

a c p = v 2 R ,                 v = ω R

Logo:

a c p = ω 2 R

Onde R é o raio do movimento de rotação, nesse caso, temos que R = r , tal que:

ω = a c p r

De forma que o período é dado por:

T = 2 π a c p r

T = 2 π r a c p

Passo 2

Mas calma lá chefia, porque essa aceleração centrípeta, como os corpos não se aproximam, ela se iguala a aceleração gravitacional gerada pelas massas, tal que:

a c p = G M R 2

Onde M é a massa total do sistema, dada por M = M 1 + M 2 enquanto R é a nossa distância entre os corpos, R = r , de forma que obtemos:

a c p = G M 1 + M 2 r 2

Então, de maneira sagaz, podemos substituir essa aceleração na expressão do período, tal que:

T = 2 π r G M 1 + M 2 r 2

Logo:

T = 2 π r 3 G M 1 + M 2

Resposta

T = 2 π r 3 G M 1 + M 2

Exercícios de Livros Relacionados