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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 62

62 . Uma professora de Física na Terra aplica uma prova aos seus alunos, que estão em uma nave espacial que viaja à velocidade v em relação à Terra. No momento em que a nave passa pela professora, ela sinaliza o início da prova. Ela deseja que seus alunos tenham um intervalo de tempo T 0 (tempo da nave espacial) para completar a prova. Mostre que ela deveria esperar um intervalo de tempo (tempo da Terra) de T = T 0 1 - v / c 1 + v / c antes de enviar um sinal luminoso informando-os para encerrar a prova. (Sugestão: Lembre que leva algum tempo para o segundo sinal de luz viajar da professora para os alunos.)

Passo 1

Como a professora está na Terra no instante dos dois eventos ela estará na mesma posição, com isso é correto dizer que o intervalor de tempo no referencial da professora é o tempo próprio, ou seja:

Δ t = γ T 0

A professora deve esperar um tempo T para enviar o sinal luminoso, contudo o sinal leva um certo tempo t para chegar nos alunos, isto é:

Δ t = T + t

Com isso chegamos na igualdade:

T + t = γ T 0

Sabendo que v = d / Δ t , distância que a nave dos alunos percorreu será:

d = v T + t    

Usando novamente a expressão v = d / t teremos outra forma de acha o tempo que o sinal luminoso leva pra chegar na nave dos alunos da seguinte forma:

t = d v = d c   ⇒   d = c ⋅ t

Igualando   d = c ⋅ t e d = v T + t chegamos a:

t = v c T + t

Agora vamos brincar com tudo o que temos até chegar na expressão desejada.

Passo 2

Isolando o t temos que:

t 1 - v c = v c T     ⇒     t = v c T 1 - v c

Agora que descobrimos quem é t vamos substituí-lo em T + t = γ T 0 , que ficará:

T + v c T 1 - v c = γ T 0 ⇒ T     1 + v c 1 - v c = 1 1 - v c 2 T 0 ⇒   T     1 - v c + v c 1 - v c = 1 1 - v c 2 T 0 ⇒

⇒   T     1 1 - v c = 1 1 - v c 2 T 0

Podemos simplificar um pouco a equação pois sabemos que:

1 - v c 1 + v c = 1 - v c 2                   e                   1 - v c 1 - v c = 1 - v c

Ou seja:

T     1   1 - v c 1 - v c = 1 1 - v c 1 + v c T 0

Isolando o T temos:

T = T 0 1 1 - v c 1 + v c 1 - v c 1 - v c = T 0 1 - v c 1 + v c

Enfim:

T = T 0 1 - v / c 1 + v / c

Resposta

Mostrado acima!

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