Enunciado

Você está em um pasto plano e observa duas vacas (Fig. P1.70). A vaca A está ao norte de você e a 15,0   m de sua posição. A vaca B está a 25,0   m de sua posição. De seu ponto de vista, o ângulo entre a vaca A e a B é de 20,0 ° , com a B aparecendo à direita da A.

a) Qual distância separa a vaca A da B?

b) Considere a vista da vaca A. De acordo com esta vaca, qual é o ângulo entre você e a B?

c) Considere a vista da vaca B. De acordo com esta vaca, qual é o ângulo entre você e a A? Dica: O que a situação parece para um beija-flor pairando acima do pasto?

d) Duas estrelas no céu parecem estar afastadas por 20,0 ° . A estrela A está a 15,0 anos-luz da Terra, e a estrela B, que aparece à direita da A, está a 25,0 anos-luz da Terra. Para um habitante de um planeta na orbita da estrela A, qual é o ângulo no céu entre a estrela B e o nosso Sol?

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer mais uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

A geometria do problema sugere que usemos a lei dos cossenos para relacionar lados e ângulos conhecidos de um triângulo aos lados desconhecidos e ângulos. Lembre-se de que os lados a, b e c com ângulos opostos A, B e C têm as seguintes relações:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c c o s ⁡ A b 2 = c 2 + a 2 - 2 c a c o s ⁡ B c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b c o s ⁡ C

Para as vacas no pasto, o triângulo tem lados a = 25,0m e b = 15.0m, e ângulo C = 20.0°, onde o objeto A = vaca A, objeto B = vaca B e objeto C = você.

Letra a:

O lado c:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos ⁡ C

c 2 = ( 25.0 m ) 2 + ( 15.0 m ) 2 - 2 ( 25.0 m ) ( 15.0 m ) c o s ⁡ 20.0 ∘

c = 12.1 m

Passo 2

Letra b:

O ângulo A:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c c o s ⁡ A →

cos ⁡ A = a 2 - b 2 - c 2 2 b c = ( 25.0 m ) 2 - ( 15.0 m ) 2 - ( 12.1 m ) 2 2 15.0 m 12.1 m

→ A = 134.8 ∘ = 135 ∘

Passo 3

Letra c:

Ângulo B:

b 2 = c 2 + a 2 - 2 c a c o s ⁡ B → c o s ⁡ B = b 2 - c 2 - a 2 2 c a = ( 15.0 m ) 2 - ( 25.0 m ) 2 - ( 12.1 m ) 2 2 25.0 m 12.1 m

→ B = 25.2 ∘

Passo 4

Letra d:

Para a situação, objeto A = estrela A, objeto B = estrela B e objeto C = nosso Sol (ou Terra).

Então, o triângulo tem lados a = 25.0 anos luz, b = 15.0 anos luz, e ângulo C = 200°. Os números são iguais, exceto por unidades, como na parte (b).

Então, ângulo A = 135°.

Resposta

  1. c = 12.1 m
  2. → A = 134.8 ∘ = 135 ∘
  3. → B = 25.2 ∘
  4. Então, ângulo A = 135°.
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