Indutores e Indutância
Produzido por Bruno SoaresTeoria
Introdução
Você lembra que nós estudamos que fluxos de campos magnéticos variando induzem uma força eletromotriz?
Mas será que é possível quantificar essa capacidade que um circuito tem de induzir ? Sim, é aí que entra a indutância.
Bora lá!
Indutores
Um dispositivo que é capaz de gerar variações de fluxo magnético em um circuito e como consequência disso induzir uma força eletromotriz é chamado de indutor.
Essa capacidade de induzir é o que chamamos de indutância.
O indutor é capaz de induzir em outros circuitos (indutância mútua) e em si mesmo (autoindutância)
Note que todo e qualquer circuito que passe uma corrente não-estacionária tem alguma espécie de indutância, pois com a corrente variando, o módulo do campo magnético também varia e com isso haverá uma variação do fluxo de campo, beleza?
Mas o único caso que vamos estudar aqui é o mais simples, que é o fio enrolado em espiral, ou seja, nosso querido solenóide.
Autoindutância
A autoindutância é um fenômeno que ocorre numa espira ou solenóide, e é proveniente do campo produzido pela sua própria corrente.
Se um solenóide com espiras conduz uma corrente , essa corrente vai produzir um fluxo magnético na região central do indutor.
Agora você concorda comigo que se a corrente variar com o tempo, o fluxo induzido nessa região central também varia?
Pela Lei de Faraday:
Esta é batizada carinhosamente de auto induzida. O sentido dessa auto induzida é dado pela Lei de Lenz, se opondo à variação que a produz.
Como o fluxo total pelo circuito é vezes o fluxo em cada volta do fio, temos que:
Substituindo, podemos tirar a constante fora da derivada:
Que fluxo de campo magnético é esse? É o fluxo do campo gerado pela própria corrente no solenoide. Lembra como é a fórmula do campo gerado por um solenóide? É essa aqui!
(Se não lembra, dá uma olhada no nosso tópico de “Lei de Ampère em Solenóides e Toróides”)
Assim, se definirmos o vetor área do solenóide paralelo ao vetor campo magnético, o fluxo do campo magnético através do solenoide vai ser:
Onde é a área da seção transversal do solenoide.
Aí a fem induzida vai ser
Como todo esse cara multiplicando a derivada da corrente é constante, nós definimos ela como , a chamada autoindutância:
A unidade de medida da indutância é chamada henry e é definida por:
Então, a nossa autoindutância pode ser expressa de duas maneiras:
Ou
Solenóides Longos
Toda vez que o problema falar em “solenóide longo”, acaba sendo mais jogo, ao invés de calcularmos a autoindutância, calcularmos a autoindutância por unidade de comprimento, dada por:
Onde é a área transversal do indutor, e é o número de espiras por unidade de comprimento, dado por:
Indutância Mútua
A medida da tendência de um circuito induzir corrente num outro circuito é chamada de indutância mútua. Suponhamos que temos dois solenoides, só que, inicialmente, o circuito não tem corrente:
Sejam:
e : As correntes em cada solenóide, com ;
e : Número de espiras em cada solenóide;
e : Fluxo magnético por através de uma volta de cada solenoide;
e : Fem em cada solenoide.
Nós vamos ter que, pela Lei de Faraday:
Como o fluxo total pelo circuito é vezes o fluxo por cada volta do fio, temos:
Substituindo, podemos tirar a constante fora da derivada:
Até aqui nada de muito novo. A novidade vem da seguinte afirmativa: O fluxo no circuito é proporcional à corrente no circuito . Isso ocorre porque o fluxo de campo no circuito 1 é gerado pela corrente que passa no circuito 2.
Ou seja:
Quando duas coisas são proporcionais, existe uma constante de proporcionalidade que relaciona elas. Essa constante é a indutância mútua :
Dito isso, podemos derivar ambos os lados com respeito ao tempo:
Substituindo a expressão da Lei de Faraday:
Ou seja, a induzida no circuito é diretamente proporcional à variação de corrente no .
Até aqui beleza, a corrente no circuito induziu uma no circuito .
Agora o circuito tem uma nova corrente própria e, já que ele tem corrente, vai fazer um campo próprio:
Se ele tem um campo próprio, olha que maravilha: ele vai induzir uma no circuito ! Virou doidera? Não, porque nós somos malandros.
O fio tinha uma fem própria antes , e agora ele vai ter essa antiga mais a induzida pelo fio . Mas nós só estamos preocupados em calcular a induzida, e ela pode ser encontrada pelo mesmo método que usamos para achar a do circuito . Sabemos que o fluxo induzido no é proporcional à corrente no :
E essa constante de proporcionalidade, não por acaso, é a indutância mútua entre os circuitos:
Derivando ambos os lados e substituindo a Lei de Faraday para o circuito :
Finalmente, podemos tirar que a definição da indução mútua é:
Quando formos analisar essas equações, temos que ter muito cuidado. Primeiramente, a indutância mútua é uma constante que depende apenas da geometria dos dois circuitos (número de espiras, comprimento, área da seção reta, etc.) e não da corrente ou do campo magnético.
Veja que temos várias maneiras de calcular a indutância mútua, depende só do que foi dado pela questão. Apesar de ser um conceito novo, temos todas as ferramentas para calcular o seu valor.
Tá, agora só mais uma coisinha...
Solenóides Preenchidos com Materiais Magnéticos
Em casos raros, alguns problemas colocam solenóides preenchidos por materiais magnéticos. Assim, é valido tocar no assunto.
No interior de um material magnético, o campo magnético será dado por:
Onde é o campo magnético no vácuo e é uma propriedade adimensional chamada suscetibilidade magnética.
Nesse caso, a autoindutância em um indutor preenchido por material magnético será:
Onde é a autoindutância no vácuo.
É isso! Bora lá exercitar?