Pêndulo Físico

a):

Vamos olhar o esquema abaixo:

Como você pode ver, o vai estar mais deslocado pro circulo.

Bora calcular o momento de inércia do conjunto em relação ao ponto de rotação. O momento de inércia vai ser a soma dos momentos de inércia da barra e do círculo:

Como o eixo de rotação não passa por cima de nenhum dos centros de massa, teremos que usar o teorema dos eixos paralelos em cada caso.

Primeiro a barra:

Perceba que a distância do centro de massa da barra até o eixo de rotação é

Agora o do círculo:

Sacou? Percebeu que a distância do centro do disco até o eixo é o comprimento da barra mais o raio do círculo?

Beleza, então:

Assim:

b):

Vamos calcular agora a posição do centro de massa do pêndulo. Se você não lembra muito bem desse assunto, dê uma olhada no nosso conteúdo de Física 1 (:

O centro de massa será dado por:

A gente tá tomando a origem como sendo o ponto de rotação. Se liga nisso (:

Além disso, cada de cada objeto é a posição do centro de massa do mesmo em relação ao ponto de rotação.

Assim:

Como a gente tinha visto, a posição do centro de massa está bem deslocado pra posição do círculo.

c):

Agora que a gente já calculou tudo que tínhamos que calcular, fica fácil calcular o período de oscilação. Só a gente aplicar a fórmula:

Onde é o peso do corpo todo e a distância do centro de massa do corpo até o ponto de rotação.

No caso, como calculamos o centro de massa em relação ao centro de rotação, o vai ser o próprio valor da posição

E o peso vai ser dado por:

E como:

Podemos aplicar todos os valores na equação do período:

O período vai ser dado por:

Nós queremos descobrir esse . Porém, pra isso, teremos que calcular antes o peso e o momento de inércia

O momento de inércia pode ser dado pelo teorema dos eixos paralelos:

E o peso? O peso será dado por:

Assim:

Agora basta substituir o valor do período:

Vamos resolver essa equação do segundo grau pra achar

Assim:

Assim:

Essa é simples! Foi resolvida em nossa teoria. Mas vamos relembrar:

Essa é a figura de nosso pêndulo físico. Ele está submetido a um torque realizado pela força gravitacional com braço de alavanca A segunda lei de Newton para rotações fica:

Que é o torque resultante. Sendo :

Como :

Comparando essa equação com uma equação de MHS, temos que:

Sendo :

Vamos primeiro achar o centro de massa de cada peça. O centro de massa das peças fica no centro das peças, já que ambas são homogêneas. Então, em relação ao ponto O, os centros de massas são:

O centro de massa dois tem esse valor pois é essa a distância do ponto O até o centro da placa quadrada.

Pronto! Agora pra gente achar o centro de massa total a gente usa:

Essa é a distância procurada!

b)

Nesse item, a gente vai precisar primeiro achar o momento de inércia total de toda a peça em relação ao ponto O.

Esse momento vai ser dado por:

Onde é o momento do centro de massa resultante das duas peças e é a distância do centro de massa da peça em relação ao ponto O, ou seja, o resultado de

O complicado aqui é achar . Mas vamos pensar em como podemos fazer isso:

O centro de massa está na distância do ponto O. As peças que o cercam são a barra e o quadrado.

Podemos, então, calcular o momento de inercia de cada peça em relação ao centro de massa! Isso quer dizer: Calcular, usando o teorema dos eixos paralelos, o momento das peças em relação à

Para a barra:

Já que a distância do centro de massa da barra ao centro de massa é

E o momento do quadrado é:

Logo:

E:

Agora vamos calcular o período! De acordo com a nossa teoria, o cálculo da EDO do pêndulo físico é:

Como

Para pequenos valores de :

Então:

Onde , no nosso caso. E . Logo:

A força elástica produzirá um torque que vai ser dado por

Isso porque a força elástica é praticamente horizontal e o vetor posição que sai do centro da catraca até o ponto onde tá a mola é praticamente vertical.

Já esse deslocamento em vai ser dado por

Para ângulos pequenos , assim

Como

Assim

Como

Bom, nós temos e dados pelo enunciado.

Temos

Na verdade, não diretamente, mas dê uma olhada no gráfico da variação angular: O ciclo se repete em , certo?

Então, esse tempo será o período:

Assim, poderemos achar

a) De cara, o enunciado tá pedindo a frequência angular. Então vamos tentar calcular isso!

Lembra da equação do MHS? Essa aqui:

Vamos tentar achar algo parecido com isso, que aí saberemos que o termo que acompanha o x é , sacou? Show! Mas como esse cara tá RODANDO (e não se deslocando linearmente) vamos ter que usar deslocamentos angulares, não lineares. Vamos usar então em vez de :

Agora vamos escrever a Lei de Newton para rotações (aquela que considera torque em vez de força):

Em que é o momento de inércia.

A única força que temos causando torque é a força da mola. Essa força será:

Porque, como são pequenas oscilações, a compressão da mola pode ser dada por , que é o arco do círculo no movimento. Já o torque, vai ser essa força vezes a distância até o centro:

Igualando isso ao torque resultante:

Dividindo todo mundo por :

Comparando com o MHS pra rotações:

Ok, agora podemos continuar.

Agora vamos aplicar a equação que achamos pra frequência angular:

Quanto valerá Está no enunciado:

Assim:

b)

Para vamos ter:

c)

Para

Faz sentido? Faz!!!

Perceba que quando for zero, a mola estará aplicando a sua força logo em cima do centro de massa do disco, ou seja, ele não terá uma tendência a se inclinar ou girar!!!!