Exercícios de Pêndulo Físico - Lista de Exercícios Resolvida

Um pêndulo físico de massa e momento de inércia , está preso em uma de suas extremidades. O pêndulo sofre então uma leve perturbação externa, tal que ele começa a oscilar em pequenos ângulos devido a um campo gravitacional . Assuma também que o centro de massa do pêndulo está a uma distância do ponto fixo. Qual a frequência angular de oscilação?

Uma roda pode girar livremente em torno do seu eixo fixo. Uma mola é presa a um dos raios a uma distância de do eixo, como mostra a figura. A roda gira em torno de seu centro.

(a) Supondo que a roda é um disco de massa e o raio , qual é a frequência angular das pequenas oscilações desse sistema em termos de e da constante elástica . Qual é o valor de para :

(b)

(c) ?

Dado:

Momento de inércia de um disco:

Na Figura abaixo, uma placa de metal está montada em um eixo que passa pelo seu centro de massa. Uma mola com está ligada a uma parede e a um ponto da borda da placa a uma distância do centro de massa. Inicialmente a mola está relaxada. Se a placa é girada de 7° e liberada, oscila em torno do eixo em um MHS, com sua posição angular dada pela a outra figura. A escala do eixo horizontal é definida por . Qual é o momento de inércia da placa em relação ao centro de massa?

O pêndulo da figura abaixo é formado por uma haste de comprimento e uma chapa quadrada também de lado , presos no ponto de maneira que o conjunto possa se movimentar. Tanto a haste quanto a chapa são uniformes e possuem massa . Os momentos de inércia em torno dos centros de massa de uma haste e de uma chapa quadrada são, respectivamente, e .

1. Calcule a distância entre o ponto e o centro de massa desse conjunto .
2. Se o pêndulo é posto para oscilar em torno do ponto com ângulo pequeno, qual será o período de oscilação?

Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro, cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância da marca de . O período de oscilação é . Determine o valor de

Dados:

Momento de inércia de centro de massa de uma barra:

Na figura, o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio e de massa preso a uma barra uniforme de comprimento e massa .

1. Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão.
2. Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo?
3. Calcule o período de oscilação.

Dados:

Momento de inércia de centro de massa de um disco de massa

Momento de inércia de centro de massa de uma barra de massa :

Gravidade:

Uma barra homogênea de massa e comprimento é presa por uma de suas extremidades e posta para oscilar como um pêndulo físico sob ação da gravidade . Sabendo que o momento de inércia da barra em relação à sua extremidade é , resolva os itens a seguir:

1. Deduza a equação de movimento para arbitrário e diga qual a condição (se houver) para o movimento harmônico. Neste caso, qual será a frequência das oscilações?
2. Resolva a equação do oscilador harmônico sabendo que o pendulo é inicialmente solto do repouso com ângulo igual a em relação à posição de equilíbrio.
3. Adimita agora que haja um torque dissipativo que seja proporcional à velocidade angular, isto é, , onde é uma constante positiva. Escreva a nova equação de movimento e deduza qual deve ser a condição satisfeita por para que haja amortecimento subcritico. Não é necessário resolver esta nova equação de movimento.

Um pêndulo formado por uma esfera de massa e raio desprezível está suspenso verticalmente a partir do ponto através de uma haste rígida de massa desprezível e comprimento . A haste está ligada a duas molas idênticas de constantes elásticas , massas desprezíveis, situadas a uma distância de como mostrado na figura (a). As molas estão relaxadas (isto é nem esticadas, nem comprimidas) quando o pêndulo está na posição vertical. Para iniciar o balanço do pêndulo, você o desloca com as mãos até que a haste forme um pequeno ângulo com a vertical, liberando-o a partir do repouso [figura (b)].

Dica: como o ângulo é pequeno, considere que as molas permanecem essencialmente na horizontal durante todo o movimento.

(a) Utilize o sistema de coordenadas da figura e obtenha a equação que descreve o movimento do pêndulo.

(b) Para pequenas oscilações em relação à posição de equilíbrio do pêndulo, determine a freqüência angular de oscilação.

(c) Obtenha a função para pequenas oscilações em relação à posição de equilíbrio.

SUGESTÕES:

• Item (a): Determine o(s) torque(s) em torno ao eixo de rotação ou utilize considerações energéticas.

Um haltere de comprimento é formado por uma haste de massa desprezível e duas esferas de massa . O haltere pode girar livremente em torno do ponto , formando um ângulo em relação à horizontal. Uma mola, de constante elástica está conectada a uma distância do ponto e encontra-se relaxada (nem comprimida nem esticada) quando o ângulo é zero. Considerando pequenos valores de , obtenha:

(a) A equação diferencial que rege o comportamento oscilatório do haltere.

(b) A frequência natural de oscilação do haltere. Expresse a resposta em termos de , e .

Um pêndulo físico, imerso em um meio viscoso, oscila em torno de um eixo horizontal sob a ação da gravidade e da força de atrito viscoso com uma distância entre o seu centro de massa e o eixo de rotação. No limite de pequenas oscilações, o pêndulo obedece à seguinte equação de movimento:

Sendo . Se necessário, use .

(a) Determine a frequência natural de oscilação () e a constante de amortecimento ().

(b) Determine a solução da equação de movimento para e .

(c) Qual é o tempo necessário para que a amplitude do movimento seja reduzida para um quarto do valor inicial?

Uma roda pode girar livremente em torno do seu eixo fixo. Uma mola de constante k é presa a um dos raios a uma distância R do eixo. Suponha que a roda é um anel de massa m e raio R, cujo momento de inércia é igual a .

a) Calcule a frequência angular das pequenas oscilações desse sistema, em termos de m, R, r e k.

b) Suponha que o deslocamento angular máximo de um ponto do anel seja e que tem t = 0 s o deslocamento angular desse ponto seja metade desse valor. Escreva a equação do movimento angular do anel.

c) Se o anel tem uma massa m = 3 kg, a constante da mola é k = 100 N/m, = 0,01 rad e , calcule a velocidade angular de um ponto do anel em t = 0 s.

Conforme figura ao lado, um pêndulo é formado por um disco uniforme de massa M sustentado em um plano vertical por um pino situado a uma distância = 3m do centro de massa do disco. O raio do disco é R = 4 m. O pêndulo oscila com uma amplitude angular pequena. Dado que o momento de inércia de um disco homogêneo em relação ao seu centro de massa é , diga qual é a frequência angular de oscilação em rad/s.

a)

b)

c) 2

d)

e)

f)

g)

h)

Uma esfera homogênea com 0,5 kg de massa está livre para girar em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro. Uma mola de constante elástica k = N/m é ligada horizontalmente entre a borda da esfera no plano do equador e uma parede fixa. A figura ao lado mostra a vista de topo da esfera e da mola na sua posição de equilíbrio. Determine o período das pequenas oscilações que acontecem quando a esfera é levemente girada no plano do equador e em seguida liberada. Dado:

Uma haste rígida de comprimento e massa está suspensa em um ponto que dista do centro de gravidade da haste. No instante a haste é abandonada a partir do repouso de um ângulo com a direção vertical. Considere o limite de oscilações com ângulos pequenos.

1. Obtenha a equação diferencial que descreve o movimento de rotação da haste.
2. Determine o período de oscilação da haste nessas circunstâncias.
3. Obtenha a solução da equação diferencial.
4. Obtenha a energia mecânica da haste no ângulo .
5. Determine a razão onde é o período de oscilação quando suspensa por sua extremidade.

Formulário adicional: Momento de inércia de uma barra delgada e uniforme de comprimento e massa em relação a um eixo vertical que passa pelo seu centro:

Um pêndulo físico consiste de uma haste rígida delgada, de massa desprezível e comprimento , sobre a qual duas diminutas partículas estão afixadas, uma de massa e outra de massa . As distâncias destas duas massas ao ponto de suspensão são, respectivamente, e . Para pequenas oscilações do pêndulo, podemos afirmar que este desenvolve movimento harmônico, com frequência natural de oscilação:

Um relógio de pêndulo é constituído por uma fina haste de aço de massa unida a um grande disco de bronze de massa . Supondo desprezível qualquer tipo de atrito sobre o pêndulo durante as suas oscilações, analise as afirmativas a seguir:

I - O período desse relógio irá aumentar caso o mesmo seja levado para a superfície da Lua, onde a aceleração da gravidade é menor que a da Terra.

II - Ao aumentarmos a temperatura ambiente de , o período desse relógio irá aumentar.

III - O período desse relógio pode ser calculado pela equação , onde é a distância do centro do disco de bronze ao eixo de oscilação.

São verdadeiras:

1. Somente I e II.
2. Somente a I.
3. Somente II e III.
4. Somente I e III.
5. Todas.

Um pêndulo de comprimento , inicialmente em repouso na sua posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica instantaneamente uma velocidade angular no sentido anti-horário. Seja a frequência angular das oscilações. A função que descreve corretamente seu movimento, supondo pequenas oscilações, é:

(Cap 13 - Ex 45) Uma massa de oscila em uma mola de constante igual a com um período de . Esse sistema é amortecido ou não? Como você sabe disso? Se for amortecido, encontre a constante de amortecimento . Esse sistema é não amortecido, subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido? Como você sabe que é assim?

O pêndulo da figura abaixo é formado por uma haste de comprimento e uma chapa quadrada também de lado , presos no ponto de maneira que o conjunto possa se movimentar. Tanto a haste quanto a chapa são uniformes e possuem massa . Os momentos de inércia em torno dos centros de massa de uma haste e de uma chapa quadrada são, respectivamente, e .

1. Calcule a distância entre o ponto e o centro de massa desse conjunto .
2. Se o pêndulo é posto para oscilar em torno do ponto com ângulo pequeno, qual será o período de oscilação?

O momento de inércia de uma barra uniforme e fina em relação a um eixo perpendicular à barra passando pelo seu centro de massa é , onde é a massa e é o comprimento. Tal barra é suspensa verticalmente por uma de suas extremidades e posta a oscilar a pequenas amplitudes. Se esta barra terá o mesmo período de um pêndulo simples de comprimento:

a)

b)

c)

d)

e)

A figura mostra um objeto com forma de estrela, livre para girar ao redor de seu centro de massa e com a ponta superior presa a uma mola. O primeiro gráfico mostra a função [rad, ms] que descreve a posição angular da ponta superior da estrela em função do tempo . O segundo gráfico mostra o torque produzido pela força elástica da mola em função de . A relação entre a deformação do comprimenrto da mola e o ângulo é dada por . A relação entre o torque aplicado à estrela e a força exercida pela mola é dada, para pequenos ângulos, por . Considere .

Determine:

(a) a constante elástica da mola.

(b) a frequência angular do MHS resultante.

(c) o momento de inércia da estrela

(d) a constante de fase .

Cada um dos dois pêndulos mostrados na figura abaixo consiste em uma esfera sólida uniforme de massa sustentado por uma corda de massa desprezível, porém a esfera do pêndulo é muito pequena, enquanto a esfera do pêndulo é bem maior. Sejam e os tempos que cada pêndulo demora em completar uma oscilação. Para deslocamentos pequenos, pode-se dizer que: Dados: Momento de inércia de uma esfera (a partir de um eixo de simetria): Teorema dos eixos paralelos:

O pêndulo demora mais tempo que o pêndulo em completar uma oscilação, com .

Os dois pêndulos levam o mesmo tempo para completar uma oscilação, com .

O pêndulo demora menos tempo que o pêndulo em completar uma oscilação, com .

O pêndulo demora mais tempo que o pêndulo em completar uma oscilação, com / .

O pêndulo demora menos tempo que o pêndulo em completar uma oscilação, com .

Uma bola de aço está pendurada em uma mola ideal vertical e descreve um movimento harmônico simples com uma amplitude de e uma frequência angular de . Qual das expressões abaixo representa a aceleração da bola, em m/s em função do tempo?

a = - 0,157

a = - 0,493 cos (

t

Dois pêndulos, cada um composto por um fio de comprimento prendendo uma partícula de massa , realizam um movimento harmônico simples (pequenas amplitudes) com uma mola de constante elástica e massa desprezível unindo as massas no plano de oscilação. Quais o modos normais de oscilação?

1. e
2. e
3. e
4. e
5. e

Em uma simulação conforme representado pela figura abaixo, a um pêndulo com constante elástica igual a , foi acoplada a uma massa de em sua extremidade, sendo a amplitude de oscilação igual a 0,08 m, podemos afirmar que a energia mecânica do sistema é igual a:

1. 0,400J
2. 7,928J
3. 0,0480J
4. 4,80J
5. 79,28J

A figura mostra três pêndulos físicos formados por esferas homogêneas iguais, rigidamente

ligadas por barras iguais de massa desprezível. Os pêndulos são verticais e podem oscilar em torno do ponto de suspensão O. Ordene os pêndulos de acordo com o período das oscilações, começando pelo maior.

a) a, c, b;

b) b, a, c;

c) b, c, a;

d) c, b, a;

e) todos empatados;

Um movimento harmônico simples (MHS) obedece à equação:

1. Determine o período de oscilação.
2. Se o sistema for um sistema massa mola com a constante elástica da mola igual à , determine a massa do bloco em onças.

Para os itens a seguir considere a condição de pequenas oscilações.

3. Se o sistema for um pêndulo simples qual o comprimento do fio em metros se a massa for
4. Se o sistema for um pêndulo físico associado ao pêndulo simples do item anterior, qual a distância do ponto de suspensão ao centro de oscilação.

(Cap 13 - Ex 57) Uma força de amortecimento atua sobre um rato infeliz de que se move preso a extremidade de uma mola cuja constante é . Se a constante tem um valor igual a , qual é a frequência de oscilação do rato? Para qual valor da constante o movimento é criticamente amortecido?

Uma bolinha homogênea de massa e raio rola sem deslizar sobre uma calha cilíndrica de raio , na vizinhança do fundo, ou seja, na aproximação de ângulos pequenos. Dado

1. Faça um esquema das forças que agem sobre a bola e determina a força resultante.
2. Escreva e .
3. Mostre que o sistema é um oscilador com frequência angular .
4. Mostre que a função , onde e são constantes é solução da equação diferencial.
5. Considerando que no instante o ângulo é e a velocidade é , determine a solução particular para este oscilador em termos de , , , e .
6. Escreva as expressões para e , sendo , a energia potencial e a energia cinética.
7. Mostre que é independente do tempo.

A figura ao lado mostra um pêndulo físico composto por uma barra uniforme de comprimento que pode oscilar livremente em torno de um eixo pelo ponto a uma distância do centro da barra.

1. Considere e No instante a barra é abandonada a partir do repouso em um ângulo arbitrariamente pequeno com a vertical. Em segundos, a barra passa pela posição vertical pela primeira vez. Determine o valor de .
2. Suponha agora que . Determine, em centímetros, o valor de que minimiza o período.

(Dados:

Um pêndulo, constituído por um disco fino de massa e raio , e centro de massa em C, é pendurado por um ponto a uma eixo fixo, conforme mostra a figura. O disco pode balançar livremente, de um lado para outro, quando é deslocado, de um ângulo , a partir de sua posição de equilíbrio. Se o movimento do pêndulo é restringido a ângulos pequenos, e a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa é , o período das oscilações quando ele oscila em torno do ponto é:

a)

b)

c)

d)

e)

Considere os dois tipos de pêndulos ilustrados ao lado: o primeiro sendo um pêndulo simples e o segundo um pêndulo físico (com momento de inércia igual a em relação à extremidade superior). Julgue as afirmações abaixo, relativas ao movimento de ambos os pêndulos:

) Se considerarmos o regime de oscilações pequenas, ambos os pêndulos descrevem um movimento harmônico simples.

) O período dos dois pêndulos será o mesmo se ambos tiverem a mesma massa e o mesmo comprimento.

) Quanto menor é o ângulo de oscilação de cada pêndulo, menor fica o seu período.

(A) Apenas as afirmações , e estão corretas.

(B) Apenas as afirmações e estão corretas.

(C) Apenas as afirmações e estão corretas.

(D) Apenas a afirmação está correta.

(E) Apenas a afirmação está correta.

O pêndulo da figura abaixo é formado por uma haste de comprimento e uma chapa quadrada também de lado , presos no ponto de maneira que o conjunto possa se movimentar. Tanto a haste quanto a chapa são uniformes e possuem massa . Os momentos de inércia em torno dos centros de massa de uma haste e de uma chapa quadrada são, respectivamente, e .

1. Calcule a distância entre o ponto e o centro de massa desse conjunto .
2. Se o pêndulo é posto para oscilar em torno do ponto com ângulo pequeno, qual será o período de oscilação?

Um pêndulo físico de massa e momento de inércia , está preso em uma de suas extremidades. O pêndulo sofre então uma leve perturbação externa, tal que ele começa a oscilar em pequenos ângulos devido a um campo gravitacional . Assuma também que o centro de massa do pêndulo está a uma distância do ponto fixo. Qual a frequência angular de oscilação?