Contração do Comprimento
Produzido por Bruno SoaresTeoria
A situação que vamos criar agora é bem parecida com a que vimos anteriormente.
Imagine o mesmo vagão que usamos no capítulo de Dilatação do Tempo e que, em seu interior, agora existe uma régua, colocada horizontalmente.
Em uma das extremidades da nossa régua está uma fonte de luz e na outra está um espelho. Então, agora o feixe de luz que vamos observar se move horizontalmente.
O primeiro evento é a emissão da luz para a direita pela fonte, e o segundo evento é o retorno da luz para a fonte, após refletir no espelho.
Vamos analisar esse cenário de dois referenciais.
Primeiro Referencial
Novamente, o primeiro referencial, que vamos chamar de , se move com a mesma velocidade do vagão. Nele, o Homer vai observar a trajetória do feixe de luz entre os dois eventos.
Homer verá a luz percorrer a trajetória conforme a figura abaixo.
Já que a luz vai e volta, o Homer vai ver a luz percorrendo uma distância . Logo:
Onde é o comprimento da régua observado pelo Homer.
Segundo Referencial
O segundo referencial, que vamos chamar de , está parado e vendo o vagão se mover com velocidade . Portanto, ele está em movimento em relação ao referencial .
Nele, a Lisa vai observar a trajetória do feixe de luz entre os dois eventos.
Para Lisa, a luz vai realizar uma trajetória diferente.
A régua se desloca com velocidade no referencial da Lisa. Vamos dividir a análise em duas partes.
Quando a luz sai da fonte, até encontrar o espelho, ela percorre uma distância , dada por:
Quando a luz reflete no espelho, até voltar para a fonte, ela percorre uma distância , dada por:
Onde é o comprimento da régua observado pela Lisa.
O tempo total é dado por:
Contração do Comprimento
Podemos relacionar e pela equação de Dilatação do tempo que vimos antes, ela é essa aqui:
Agora que, para a nossa nova situação, já achamos expressões para e , o nosso trabalho agora é substituir as expressões que encontramos na equação acima.
Enfim, organizando isso tudo, a equação que encontramos é essa:
O termo é recorrentemente chamado de “comprimento próprio” ou “comprimento de repouso”, que é o comprimento medido por Homer no referencial , onde os dois eventos ocorrem no mesmo local do espaço (a saída do laser da fonte e a chegada do laser na fonte).
Essa equação mostra que há uma diferença entre o comprimento da régua observado por Homer (referencial ) e por Lisa (referencial ).
Como a velocidade do vagão é menor do que a velocidade da luz , a equação nos mostra que, para os mesmos eventos, o comprimento medido pelo Homer , que está se movendo junto com o vagão, é maior do que o comprimento medido pela Lisa , no referencial que está em repouso.
Portanto, quanto maior a velocidade entre os referenciais, menor será o comprimento medido por Lisa .
Ah! Também podemos escrever a equação assim:
Onde é chamado de Fator de Lorentz, e é dado por:
Vamos parar por aqui, por enquanto, e fazer alguns exercícios pra fixar melhor tudo isso.
Contração do Comprimento e o Tempo
Imagina que, malandramente, você está na sua nave inocente, a explosão de uma estrela te surpreende e você sai correndo de lá. A sua nave possui velocidade e você calcula que, pra escapar, terá que percorrer (medida no referencial das estrelas).
A primeira questão é a seguinte: Quanto tempo, medido no referencial das estrelas, será necessário para você fugir de lá?
Bom, o tempo medido no próprio referencial das estrelas será dado por:
Até aqui nenhum problema já que todos os dados e cálculos estão sendo feitos para o mesmo referencial.
A próxima questão é a seguinte: Quanto tempo, medido no seu referencial, será necessário para fugir de lá?
Se liga que tem dois jeitos de calcular esse intervalo de tempo .
O primeiro jeito é: calculado o intervalo no referencial das estrelas, você pode usar a equação de dilatação do tempo para calcular , se liga:
O segundo jeito é: se você ainda não calculou o intervalor , podemos partir da seguinte equação de cinemática.
Usando a equação de contração dos comprimentos, temos que:
Substituindo esse cara na equação acima, teremos:
No final das contas, os dois jeitos dão no mesmo lugar (como tem que ser), mas é importante saber exatamente distinguir os referenciais e saber em qual deles estamos trabalhando.
Para não vacilar, vamos fazer alguns exercícios pra fixar melhor isso.