Dado o retângulo abaixo determine a sua área em função da sua diagonal sabendo que o perímetro do retângulo é
Passo 1
Aqui é mais uma daquelas questões que temos que achar a função de alguma coisa em relação a outra.
Dessa vez temos que achar a área desse retângulo em função da diagonal. Mas isso não é nada claro né? As vezes precisamos de várias equações e um algebrismo meio chato para chegarmos na função que ele pediu. Vamos começar pelo básico, achando a área do retângulo em função dos lados. Vamos chamar esses lados de e , assim vamos ter
Achamos a primeira relação, que deve ser a nossa função final, queremos , e ali temos a área em função de e . Então temos que continuar achando relações
Passo 2
A outra relação que temos que é o do perímetro do retângulo, que vai ser , assim
E
Po, achamos uma relação de novo só com e , e isso não ajuda em absolutamente nada né? Vamos deixar de lado essa por enquanto, pode ser que seja útil depois ou não, não tem como saber, vamos caçar mais uma.
Passo 3
Dessa vez vamos dar uma forçada na mente para achar uma relação que envolva , e .
Repara que temos um triângulo retângulo dentro da nossa figura lá no enunciado. Os catetos vão ser e e a hipotenusa vai ser , assim FINALMENTE temos uma relação entre eles , vamos aplicar Pitágoras
Passo 4
Agora temos vaaarias relações que podem ou não ser úteis, vamos escrevê-las todas aqui
Isso é tipo um sistema muito louco, aqui não tem jeito, precisamos de algumas marotagens para tentar resolver. A primeira coisa que você pode reparar é que temos uma soma de e na segunda equação, se elevarmos essa soma ao quadrado vai aparecer , e que envolvem as duas outras relações, então vamos começar fazendo esse cara ao quadrado esse cara ao quadrado
Podemos trocar a soma de com por por causa do Pitágoras, e o produto pela área pela fórmula da área. Vamos ter
E essa é a nossa função.