AV1 de Cálculo Numérico da UFJF - 2019.1

5. Seja a função definida no intervalo .

(a) Mostre, sem a utilização de gráfico, que existe pelo menos um zero de no intervalo .

(b) Mostre, sem a utilização de gráfico, que este zero de é único no intervalo.

(c) Use o método da falsa posição para encontrar o zero de em . Faça iterações (isto é, determine o valor da aproximação ao final do passo ).

3. Considere o sistema e os números e . Responda: qual dos dois números representa melhor ? Justifique sua resposta utilizando o erro relativo entre as representações e o valor exato.

2. Considere uma máquina com representação de números dada por um sistema de ponto flutuante , i.e., com dígitos na mantissa e expoente no intervalo . A máquina utiliza arredondamento.

(a) Calcule o resultado da seguinte operação: na máquina especificada.

(b) O que ocorre com o resultado?

(c) Sugira uma forma de evitar o problema ocorrido nas operações de aritmética de ponto flutuante e refaça os seus cálculos.

4. Seja a o número de letras do seu primeiro nome, e sejam e .

(a) construa um polinômio de grau que tenha exatamente como raízes os números , e ;

(b) escolha entre , e e mostre (através de cálculos) que o número escolhido trata-se, de fato, de uma raiz do polinômio;

(c) escreva a fórmula de iteração do método de Newton para encontrar raízes desse polinômio;

(d) escolha uma aproximação inicial e realize uma iteração do método de Newton para encontrar uma aproximação para a raiz escolhida. Apresente todo o desenvolvimento da questão.

Considere a seguinte função

e determine:

1. o polinômio de Taylor de grau em torno de para aproximar
2. a aproximação do item (a) para calcular o valor aproximado de para ;

Considere a seguinte função

e determine:

o valor máximo da derivada de ordem de , isto é,

Considere a seguinte função

e determine:

o grau para que o erro da aproximação em torno de seja

menor do que . A fórmula geral do erro de Lagrange é dada por:

onde . Dica: investigue qual o grau adequado do polinômio a partir de valores .