UFJF, Sem Campus, Cálculo Numérico, AV1 - 2019.1, Questão 5.
5. Seja a função definida no intervalo .
(a) Mostre, sem a utilização de gráfico, que existe pelo menos um zero de no intervalo .
(b) Mostre, sem a utilização de gráfico, que este zero de é único no intervalo.
(c) Use o método da falsa posição para encontrar o zero de em . Faça iterações (isto é, determine o valor da aproximação ao final do passo ).
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema, temos que provar que existe ao menos uma raiz dentro do intervalo de a e que essa raiz é única.
Depois usamos o método da falsa posição para obter o de dentro do intervalo fazendo itrações.
Sabe como fazemos isso? 🤔
Primeiro, para mostrar que existe ao menos uma raiz de no intervalo, calculamos a imagem da função em e em e verificamos se os sinais são opostos...
Já para verificar se a raiz é única, calculamos a derivada de e analisamos se o resultado é crescente ou decrescente em todo o intervalo.
E depois, vamos verificar a raiz da função a partir do método da falsa posição.
Esse método consiste em obter a raiz em um intervalo
Se , fazemos , se não for, fazemos e repetimos o procedimento.
Nesse caso não precisamos definir os valores da nossa precisão, pois nosso limite é o nosso número de iterações, no caso, igual a .
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
Primeiro vamos substituir por em e depois por .
Se em a imagem da função é negativa, em a imagem da função é positiva e a função é contínua nesse intervalo, então certamente existe ao menos uma raiz nesse intervalo!
Para verificar se é apenas uma raiz, vamos calcular a derivada de pelo método de derivação polinomial.
Analisando , vemos que para , a função é estritamente crescente, logo a função possui apenas uma raiz em !
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora vamos partir para o cálculo do método da falsa posição.
Fazendo e , vimos que e .
Calculando a iteração , temos
Calculando a imagem de , temos
e tem o mesmo sinal, portanto , logo reconsideramos e refazemos o teste.
Calculando a imagem de ...
e tem o mesmo sinal, então mudamos para novamente
E por fim, refazendo o teste...
E a imagem de é dada por
Com isso, vemos que o valor da raiz de é igual a aproximadamente !
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
a)
b)
c)