UFJF, Sem Campus, Cálculo Numérico, AV1 - 2019.1, Questão 4.
4. Seja a o número de letras do seu primeiro nome, e sejam e .
(a) construa um polinômio de grau que tenha exatamente como raízes os números , e ;
(b) escolha entre , e e mostre (através de cálculos) que o número escolhido trata-se, de fato, de uma raiz do polinômio;
(c) escreva a fórmula de iteração do método de Newton para encontrar raízes desse polinômio;
(d) escolha uma aproximação inicial e realize uma iteração do método de Newton para encontrar uma aproximação para a raiz escolhida. Apresente todo o desenvolvimento da questão.
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema, temos que criar um polinômio de terceiro grau que tem como raízes , e em que é o número de letras do seu nome, e .
Depois de obtido o polinômio vamos provar que , ou é raiz do nosso polinômio substituindo na função e pelo método de Newton.
Tem ideia de como podemos fazer isso? 🤔
Para obter um polinômio de terceiro grau genérico a partir das suas raízes, fazemos
Em que , e são suas raízes, ou seja, , e .
Já pra obter o zero de uma função usando o método de Newton, fazemos para um inicial arbitrário.
Entendeu? Podemos começar!
Passo 2
Vamos iniciar definindo , e !
Resolvendo o item a), se meu nome é Thor, meu nome tem letras, logo . Consequentemente, se e ...
Substituindo , e em , e em que definimos anteriormente, vamos obter
Portanto, nossa função é dada por
Já no item b), temos que provar que uma das raízes que definimos é realmente raiz.
Pra isso vamos substituir em
Logo realmente é uma raiz já que a função zera nesse valor.
Foi tranquilo? 😁
Passo 3
No item c) vamos montar a fórmula de iteração para o método de Newton.
No passo 1, vimos que a fórmula de iteração é dada por
Assim, se , derivando pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo e em
Para o item d), com a fórmula de iteração obtida, vamos começar por .
Substituindo por em ...
Calculando , temos
Entendeu como é? 😉
Passo 4
Não chegamos em um valor tão próximo quanto queremos, então vamos continuar.
Agora usamos .
Substituindo por em ...
Continuando agora usando
Substituindo por em ...
Ainda não está tão baixo, então agora usamos
Calculando , temos
Está entendendo os passos? 👀
Passo 5
Vamos usar uma aproximação maior, então vamos substituir
Então será
Fazendo a última iteração, temos
Portanto...
Assim provamos também que é uma raiz pelo método de Newton!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
a)
b)
c)
d)