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Exercícios Resolvidos de Erros

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Exercício 131234567891011121415

Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 1d

Considere a seguinte função

f ( x )   =   2 x 2   +   c o s ( 3 x )

e determine:

o grau n para que o erro da aproximação em torno de a   =   0   p a r a   x   =   1 seja

menor do que 0.1 . A fórmula geral do erro de Lagrange é dada por:

| R n | ≤ M n + 1 ( x - a ) n + 1 ( n + 1 ) !

onde M n + 1   =   m a x   | f ( n + 1 ) ( t ) | . Dica: investigue qual o grau adequado do polinômio a partir de valores n   >   5 .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Nosso objetivo é determinar grau n para que o erro da aproximação em torno de a   =   0   p a r a   x   =   1 seja

menor do que 0.1 .

Mas na letra c ) descobrimos que

Se n ≥ 3 então

M n   =   3 n

Como nosso erro é dado por:

| R n | ≤ M n + 1 ( x - a ) n + 1 ( n + 1 ) !

o que podemos fazer? Vamos usar a dica do enunciado que diz para tentarmos com n > 5 . Então, vamos começar com n = 7

como a   =   0   p a r a   x   =   1 . Temos:

| R 7 | ≤ M 7 + 1 1 ( 7 + 1 ) !

= 3 8 1 ( 8 ! )

= 0.16

Estamos perto! Agora, vamos tentar n = 8

| R 8 | ≤ M 8 + 1 1 ( 8 + 1 ) !

= 3 9 1 ( 9 ! )

= 0.05

Logo, se n = 8 o erro da aproximação em torno de a   =   0   p a r a   x   =   1 seja

menor do que 0.1 .

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

n = 8

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