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Exercícios Resolvidos de Série e Polinômio de Taylor

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Exercício 1112345678910

Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 1a

Considere a seguinte função

f ( x )   =   2 x 2   +   c o s ( 3 x )

e determine:

  1. o polinômio de Taylor de grau 5 em torno de a   =   0 para aproximar   f ( x ) ;
  2. a aproximação do item (a) para calcular o valor aproximado de   f ( x ) para   x   =   1 ;

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Nosso objetivo é determinar o polinômio de Taylor de grau 5 em torno de a   =   0 para aproximar   f ( x ) ;

Lembram qual é a definição do polinômio de Taylor? Ele é definido como

f ( x ) ≃ f ( x 0 ) + 1 1 ! f ( 1 ) ( x 0 ) ( x - x 0 ) 1 + 1 2 ! f ( 2 ) ( x 0 ) ( x - x 0 ) 2 + ⋯

onde x 0 é o ponto onde queremos aproximar f ( x ) . No nosso caso, esse ponto é x 0 = 0

Bem, então vamos calcular a série de Taylor de

f ( x )   =   2 x 2   +   c o s ( 3 x )

Passo 2

Como a nossa função de interesse é

f ( x )   =   2 x 2   +   c o s ( 3 x )

vamos obter as suas cinco primeiras derivadas

d d x   2 x 2   +   c o s ( 3 x ) = 4 x - 3 s i n ( 3 x )

d 2 d x 2   2 x 2   + �� c o s ( 3 x ) = d d x 4 x - 3 s i n ( 3 x )

= 4 - 9 c o s ( 3 x )

d 3 d x 3   2 x 2   +   c o s ( 3 x ) = d d x 4 - 9 c o s ( 3 x )

= 27 s i n ( 3 x )

Agora fica bem mais fácil de calcular as derivadas maiores.

d 4 d x 4   2 x 2   +   c o s ( 3 x ) = d d x 27 s i n ( 3 x )

= 81 c o s ( 3 x )

d 5 d x 5   2 x 2   +   c o s ( 3 x ) = d d x 81 c o s ( 3 x )

= - 243 s i n ( 3 x )

Prontinho, agora temos as derivadas até grau cinco. Vamos calcular o nosso polinômio de Taylor de grau 5 em x 0 = 0

Passo 3

f ( x ) ≃ f ( x 0 ) + 1 1 ! f ( 1 ) ( x 0 ) ( x - x 0 ) 1 + 1 2 ! f ( 2 ) ( x 0 ) ( x - x 0 ) 2 + ⋯

então temos:

f ( x ) ≃ 1 - 5 x 2 / 2 + 81 x 4 / 4 !

Passo 4

Agora, vamos para a letra b ) . Nela precisamos da aproximação do item (a) para calcular o valor aproximado de   f ( x ) para   x   =   1 . Como a aproximação que encontramos é

f ( x ) ≃ 1 - 5 x 2 / 2 + 81 x 4 / 4 !

plugando x = 1 obtemos

f ( 1 ) ≃ 1 - 5 / 2 + 27 / 8

= 15 / 8

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

desenvolvimento acima