Demonstre que para quaisquer números e a desigualdade é verdadeira.
Passo 1
A primeira coisa a fazer é tentar deixar a inequação com o formato da fórmula do TVM. Para isso, dividimos tudo por :
Podemos usar uma linda propriedade dos módulos que diz:
Assim:
Legal, como o módulo é sempre positivo, então a fração em si será limitada por:
E, pelo TVM, existirá tal que:
Assim, substituindo:
Assim, para provar a desigualdade, só precisamos mostrar que é sempre maior ou igual a e menor ou igual a .
Passo 2
Mas qual é será ? Comparando a fórmula que a gente achou com a fórmula geral do TVM:
Temos que:
Assim, derivando e substituindo :
Sendo que o cosseno tem valores sempre entre e , então, para qualquer :
O que demonstra a inequação.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)