Teorema do Valor Médio
Mostre que
para todo .
Passo 1
A partir do TVM, teríamos isso aqui:
Onde, pela questão, teríamos essa relação:
Se eu chamar minha função nesse caso de eu poderia definir sua derivada da seguinte maneira:
Vou trabalhar para qualquer maior que . Vou trabalhar essa comparação então sendo meu igual a variável qualquer e meu como o limite inferior do domínio dado, o . Chamo o de uma outra variável auxiliar onde eu tenho .
Vamos aplicar então isso na fórmula inicial do TVM:
Se eu passo o dividindo eu chego na forma da função do enunciado!
Olha para o termo da direita. Para positivo aquele denominador só vai crescer, correto? Nesse caso, o termo vai cada vez mais decrescer sendo sempre menor que . Se aquilo é uma igualdade, o mesmo vale para o outro termo, provando então o que queríamos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)