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Exercícios Resolvidos de Inequações com TVM

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Exercício 213456789

Enunciado

Mostre que:

x + 1 ≤ 1 + x 2 ,           se   x ≥ 0

(Dica: Utilize o Teorema do Valor Médio)

Passo 1

Temos que tentar chegar ao TVM a partir disso aí. Um bom começo é jogar tudo para o mesmo lado:

x + 1 -   x 2 - 1 ≤ 0 ,               se   x ≥ 0 .

Agora devemos substituir x por um x 0 que é uma constante maior que 0 :

x + 1 -   x 2 - 1 ≤ 0 ,               se   x ≥ 0   ⟹ x 0 + 1 -   x 0 2 - 1 ≤ 0

Analisando essa inequação, temos que se: f x =   x + 1 -   x 2

Então:

f x 0 = x 0 + 1 -   x 0 2

E:

f 0 = 1

Assim, substituindo:

x 0 + 1 -   x 0 2 - 1 ≤ 0 ⟹ f x 0 - f 0 ≤ 0

Para chegar na fórmula do TVM para o intervalo (0, x 0 ), é só dividir tudo por x 0 - 0 :

f x 0 - f 0 ≤ 0 ⟹ f x 0 - f 0 x 0 - 0 ≤ 0 x 0 - 0 ⟹ f x 0 x 0 ≤ 0

O TVM também nos diz que existirá c pertencente ao intervalo (0, x 0 ) tal que:

f ' c = f x 0 x 0 ≤ 0

Assim, para demonstrar a desigualdade, só precisamos mostrar que:

f ' c ≤ 0

Passo 2

Calculando a derivada da função, obtemos:

f ' x = x + 1 -   x 2 ' = 1 2 x + 1 1 2 - 1 - 1 2

f ' x = 1 2 1 x + 1 - 1

Portanto, segue que:

f ' c = 1 2 1 c + 1 - 1

Passo 3

Assim, substituindo

1 2 1 c + 1 - 1 ≤ 0 ⟹ 1 c + 1 - 1 ≤ 0 Então segue que:

1 c + 1 ≤ 1

Como c tem que estar entre 0 e x 0 , o seu valor sempre será maior que zero. Olhando para inequação, vemos que 1 dividido por um valor maior que 1, c + 1 , é sempre menor que 1, então a inequação acima é verdadeira e demonstramos que:

x + 1 ≤ 1 + x 2 ,           se   x ≥ 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)