Teorema do Valor Médio
Sejam e com . Prove que
Passo 1
Vamos começar definindo, pelo formato que está representado ali, uma função que seja contínua nesse intervalo:
Essa função é contínua no intervalo , uma vez que não existe para número negativo. Além disso, é um quociente de funções deriváveis então também é derivável no mesmo intervalo. Bom, vamos aplicar aí o Teorema do Valor Médio:
Onde é uma constante qualquer entre e e temos, pela informação inicial, que os valores das constantes se relacionam assim:
Bora calcular essa derivada e depois garantir, de algum jeito, que ela está sempre menor que por que, dessa forma, teremos isso:
Passo 2
Então vamos lá, vou começar derivando a função, ok?
Aplicando à relação inicial do TVM, eu tenho isso:
Passo 3
Bom, eu sei que , o que me diz:
Se eu inverter, troco o sentido da relação de maior-menor. Depois basta somar para ter o termo do numerador da derivada :
Ok, somando a essa informação, posso dizer que , como já tinha inicialmente. Agora, seus inversos, sendo positivas as duas constantes, trocam a ordem no sinal de maior-menor, ou seja:
Ao quadrado, mesma coisa:
Resumindo: se o próprio termo já é menor que e eu multiplico a ele um fator entre e , no caso o , eu garanto que o termo todo é menor que o . Assim, se tenho:
Sei que
O que me diz, finalmente:
Está provada a relação!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)