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Exercícios Resolvidos de Integração de Romberg

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Exercício 1234567

Enunciado

Encontre o valor da integral abaixo com k = 3 :

∫ 0 1 x 2 e - x d x

Passo 1

Aqui, levamos em consideração 3 subintervalos e então precisaremos dos seguintes termos conforme tabela:

Lembrando que toda fez que aparecer a notação f ( x ) aplicamos o valor usado como x na função f x = x 2 e - x

Passo 2

Agora, calculamos os valores de pontos para k = 1   e   j = 1 com base nas equações usadas no exercício 1:

R 1,1 = b - a 2 f a + f b

R 1,1 = 1 - 0 2 f 0 + f 1 = 0,1839

Para k = 2   e   j = 1 :

R 2,1 = 1 2 [ R 1,1 + b - a . f a + b - a 2 ]

R 2,1 = 1 2 [ 0,1839 + 1 - 0 . f 0 + 1 - 0 2 ]

R 2,1 = 1 2 0,1839 + . f 1 2 = 0,1678

Para k = 3   e   j = 1 :

R 3,1 = 1 2 { R 2,1 + a - b 2 . f a + a - b 4 + f a + 3 . a - b 4 }

R 3,1 = 1 2 { 0,1678 + 1 - 0 2 . f 0 + 1 - 0 4 + f 0 + 3 . 1 - 0 4 }

R 3,1 = 1 2 { 0,1678 + 1 2 . f 1 4 + f 3 . 1 4 = 0,1625

Passo 3

Agora calculamos a segunda coluna da tabela onde   j = 2 :

Para k = 2   e   j = 2 :

R k , j = R k , j - 1 + R k , j - 1 - R k - 1 , j - 1 4 j - 1 - 1

R 2 , 2 = R 2 , 1 + R 2 , 1 - R 1 , 1 4 2 - 1 - 1

R 2,2 = 0,1678 + 0,1678 - 0,1839 4 - 1 = 0,1624

Para k = 3   e   j = 2 :

R 3 , 2 = R 3 , 1 + R 3 , 1 - R 2,1 4 2 - 1 - 1

R 3,2 = 0,1625 + 0,1625 - 0,1624 4 - 1 = 0,1607

E por ultimo, calculamos para k = 3   e   j = 3

R 3,2 = R 3 , 2 + R 3 , 2 - R 2 , 2 4 3 - 1 - 1

R 3,2 = 0,1607 + 0,1607 - 0,1624 4 2 - 1 = 0,1606

Resposta

∫ 0 1 x 2 e - x d x = 0,1606