USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2018, Questão 10.
10. Sabendo que e são raízes do polinômio característico da matriz e que o auto-espaço de associado ao autovalor é gerado pelo vetor , pode-se afirmar corretamente que uma base para o espaço vetorial formado pelas soluções reais do sistema de equações diferenciais é dada por
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema queremos obter a solução do sistema de EDO’s dada por em que
A questão nos deu os dois autovalores de , e .
Sabemos também que o autovetor associado a é dado por .
E aí, o que nos resta para obter o resultado? 🤔
Para uma EDO dada dessa forma (matricial) precisamos obter apenas os autovalores e os auto vetores associados a cada auto valor.
Grande parte do trabalho já foi feito quando a questão nos deu , e , então o que precisamos fazer é obter o autovetor associado a ...
Entendeu? Bora começar!
Passo 2
Obtemos como
Assim conseguimos equações
Fazendo , nosso autovetor será dado por
Com todas as ferramentas em mãos, fazemos nossa solução
Dados os autovalores e os autovetores associados a cada autovalor, temos que a solução geral para um sistema desse tipo é dado por
Porém, como e fazem parte dos números imaginários, temos que a solução será um pouco diferente.
Grandinho, não é? 👀
Passo 3
Aqui temos que prestar muita atenção pois tem três dimensões, então se em uma dimensão a solução para uma única dimensão de um vetor imaginário temos
Para dimensões, temos que aplicar para as três componentes dos vetores...
Mas enfim, essa é a formula geral, mas o que é , , e ?
Em um autovalor imaginário, temos
Já para um autovetor desse , temos
No nosso caso, o autovetor tem dimensões, ou seja
Comparando os valores de , , e com a solução e , temos que , , , , , , e .
Substituindo em ...
Comparando esse resultado com as alternativas, temos que a resposta é a letra a)!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
(A)