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Exercícios Resolvidos de Introdução às EDO's

Ver Teoria
Exercício 6123457

Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, PSUB - 2017, Questão 15.

15. Seja a solução do sistema de equações diferenciais x ' t = x t + 2 y t ,   y ' t = - x t + 3 y t , satisfazendo as condições x 0 = 0 e y 0 = 1 . Temos que x t + y t é igual a:

(a) e 2 t cos ⁡ t - s e n t ;

(b) e 2 t 3 s e n t + cos ⁡ t ;

(c) e 2 t s e n t + cos ⁡ t ;

(d) e 2 t ;

(e) cos ⁡ t + s e n t .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema estamos interessados em obter a solução do sistema de EDO’s e somar x t com y t

x ' t = x t + 2 y t y ' t = - x t + 3 y t

Em que as condições x 0 = 0 e y 0 = 1 são satisfeitas.

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Podemos reescrever esse sistema tal que

R ' t = 1 2 - 1 3 R t

Em que R ' t = x ' t , y ' t e R t = x t , y t . Dessa maneira, a solução para esse sistema é dada a partir dos autovalores da matriz.

Bora ver como é? 😁

Passo 2

Obtemos o polinômio característico como det ⁡ A - λ I = 0 , ou seja

1 - λ 2 - 1 3 - λ = 0

1 - λ 3 - λ + 2 = 0

λ 2 - 4 λ + 5 = 0

A partir desse polinômio obtemos que suas raízes são dadas por

λ 1 = 2 + i ,     λ 2 = 2 - i

Ou seja, os autovalores possuem componentes imaginárias.

Dessa forma, a solução para esse sistema é dada por

R t = c 1 e a t α · s e n b t + β · cos ⁡ b t + c 2 α · c o s b t - β · sen ⁡ b t

Em que a é o valor real dos autovalores e b é a constante associada a i , já α e β são os componentes dos autovetores associados a λ 1 e λ 2 .

Então agora precisamos obter os autovetores associados...

1 - λ 2 - 1 3 - λ v 1 v 2 = 0

para λ 1 ...

1 - 2 - i 2 - 1 3 - 2 - i v 1 v 2 = 0

- 1 - i 2 - 1 1 - i v 1 v 2 = 0

- 1 - i v 1 + 2 v 2 - v 1 + 1 - i v 2 = 0

Assim, temos

v 1 = v 2 - v 2 i → v 1 v 2 = 1 - i 1

Logo...

Os autovetores da matriz são dados por

v = α ± β i

v = 1 1 ± 1 0 i

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Substituindo a = 2 , b = 1 , α = 1 1 e β = 1 0 na solução, vamos encontrar

R t = c 1 e 2 t 1 1 · s e n t + 1 0 · cos ⁡ t + c 2 e 2 t 1 1 · c o s t - 1 0 · sen ⁡ t

Aplicando o valor inicial x 0 = 0   e   y 0 = 1 em R t

0 1 = c 1 e 2 0 1 1 · s e n 0 + 1 0 · cos ⁡ 0 + c 2 e 2 0 1 1 · c o s 0 - 1 0 · sen ⁡ 0

0 1 = c 1 1 0 + c 2 1 1

A partir daqui, temos que

c 1 + c 2 = 0 c 2 = 1

Logo, vemos que c 1 = - c 2 = - 1

x t y t = e 2 t 1 1 · s e n t + 1 0 · cos ⁡ t - e 2 t 1 1 · c o s t - 1 0 · sen ⁡ t

x t y t = - e 2 t - s e n t + cos ⁡ t c o s t + e 2 t c o s t + sen ⁡ t s e n t

x t y t = e 2 t 2 s e n t s e n t + cos ⁡ t

E finalmente somando x t com y t , temos

x t + y t = e 2 t 2 s e n t + e 2 t s e n t + cos ⁡ t

x t + y t = e 2 t 3 s e n t + cos ⁡ t

Logo, a alternativa correta é a letra b)!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

(b) e 2 t 3 s e n t + cos ⁡ t ;