Movimento Absoluto de Corpos Rígidos

Nosso primeiro passo neste tipo de questão é achar uma relação trigonométrica que relacione a posição com a posição angular da barra .

Repare que temos um triângulo formado dentro da figura:

Vamos usar a lei dos senos para relacionar essas coisas:

Então a posição será:

Agora vamos achar a velocidade da barra . Para isso, é só derivarmos a equação da posição que acabamos de achar:

Repare que deixei tudo que é constante fora da derivada. Então, como o ângulo varia no tempo temos que aplicar a regra da cadeia:

Sabendo que

Então, teremos:

A barra está se movendo com uma velocidade constante e que foi chamada de , então:

A nossa equação da velocidade vai ficar:

Mas essa velocidade é dada no enunciado. O que queremos saber é a velocidade angular da barra . Então, vamos isolar na nossa equação:

Beleza?

Maaaas.... O enunciado pede a velocidade angular da barra em função de , ou seja, temos que arranjar um jeito de sumir com o ângulo e fazer surgir .

Lembra da lei dos senos que usamos lá no início do exercício? Vamos pegar aquela equação de volta:

Só que agora vamos isolar o e deixar tudo em função de :

Agora é só substituir isso na nossa equação da velocidade angular? Bem que poderia, mas lá não tem :

Tem apenas !!! Então, vamos pensar em uma relação trigonométrica que relacione seno e cosseno...

Agora sim!!! Vamos isolar o nessa relação aí:

Mas sabemos que o nosso é:

Então, vamos substituir esse valor de na nossa relação que acabamos de montar:

Vamos ter que:

Agora sim podemos substituir o na equação da velocidade angular:

Então, nossa equação da velocidade angular da barra é:

Primeiro vamos entender o que está acontecendo: a barra está girando em torno do ponto e conforme o ângulo aumenta a barra sobe.

A questão pede a velocidade e aceleração do movimento vertical da barra . Ou seja, temos que arranjar um jeito de relacionar o ângulo com a posição vertical da barra .

Repare que temos o seguinte triângulo retângulo:

Para relacionar com o ângulo é só usarmos o seno:

Essa é a equação da posição da barra . Beleza?

Mas queremos saber a velocidade, não é mesmo? Então vamos derivar essa equação que achamos:

Como o comprimento da barra é constante, então:

Como o ângulo varia no tempo, para resolver esta derivada temos que aplicar a regra da cadeia:

Mas lembra que a velocidade angular é:

Então:

Agora falta a aceleração. Vamos derivar a equação da velocidade:

Vamos ter que aplicar a regra do produto e a regra da cadeia:

Temos que lembrar que:

E:

Vamos substituir na nossa equação:

Vamos dar uma ajeitada nisso:

Mas repare que no enunciado foi dito que a barra gira uniformemente em torno do ponto , ou seja, seu velocidade angular é constante. Portanto, a aceleração angular é zero:

Então, a nossa equação fica:

É isso aí!

Nosso primeiro passo é arranjar um jeito de relacionar a posição da barra com o ângulo .

Para isso, repare nos dois triângulos retângulos que as barras formam:

Usando trigonometria obtemos a seguinte relação:

Então:

Pronto, temos a equação da posição da barra .

Vamos derivar a equação da posição para obtermos a velocidade:

O comprimento das barras é constante e o ângulo depende do tempo, então vamos aplicar a regra da cadeia:

Não esqueça que a velocidade angular é:

Então, vamos ter:

A questão pede a velocidade angular da barra , então vamos isolar ela na equação:

Repare que a questão pede a velocidade angular da barra em função de e da aceleração . Veja que o enunciado disse que a aceleração é constante, então podemos usar uma daquelas equações de movimento retilíneo para aceleração constante.

Mas tem que ser uma equação que relacione a velocidade, a aceleração e a posição. Vamos usar essa aqui:

Sabemos que as barrinhas partem do repouso e que a velocidade inicial é nula, então:

Então:

Opa, agora vamos substituir isso na equação da velocidade angular :

Agora só falta retirarmos a variável da equação e fazer aparecer o . Nesta parte vamos ter aquela sacada de mestre. Sabemos da trigonometria que:

Isolando o vamos ter:

Vamos substituir isso na nossa equação:

Por que fizemos isso? Porque a equação que aparece o é a primeira que achamos:

E nessa equação também aparece o , por isso tínhamos que fazer aparecer o na nossa equação de velocidade angular.

Está quase terminando...

Vamos isolar o :

E agora substituir na equação da velocidade angular:

Pronto? Teoricamente sim, mas podemos deixar nossa equação mais bonitinha. Para isso, vamos passar o para dentro da raiz:

E é só alegria:

Esse sinal negativo indica que a velocidade angular está no sentido horário, então podemos escrever:

A velocidade do ponto é igual a velocidade onde o cabo do lado esquerdo encontra a polia central. E a mesma coisa ocorre no ponto onde o cabo do lado direito encontra a polia do meio. Então, vou chamar esses pontos também de e por terem a mesma velocidade:

Vamos fazer uma linha ligando os pontos , e para ver o que está acontecendo:

Repare que os vetores e apontam para baixo, porque o bloco está descendo. E como a velocidade do ponto é maior do que a velocidade do ponto , vamos ter que:

Agora vamos analisar como um movimento circular:

Vamos ter que a variação da posição entre os pontos e () será igual ao comprimento do arco do círculo que é a trajetória do movimento:

Agora é só derivar para achar a velocidade:

Sabendo que:

Então:

Vamos isolar a velocidade angular que é o que não sabemos:

Vamos substituir o que já sabemos: , e

Essa é a velocidade angular da polia.

Agora temos que achar a velocidade do bloco . Para isso, vamos fazer uma reta ligando os pontos e o centro da polia que vamos chamar de :

Teremos o seguinte:

A nossa equação da posição vai ficar:

Para achar a velocidade é só derivar:

Como queremos a velocidade do bloquinho , então vamos isolar na equação:

Já sabemos que , e , então:

Agora falta acharmos a velocidade do ponto . Para isso, vamos fazer uma reta ligando os pontos e :

Temos que:

Para saber a velocidade do ponto é só derivar:

Vamos isolar que é o que queremos saber:

Repare que é:

Agora é só substituirmos os valores que já temos: ,

Essa é a velocidade do ponto .

O que temos que fazer nesses tipos de questões é achar uma relação trigonométrica entre o que queremos saber e o que temos de informação.

Para começar vamos colocar em função das nossas informações:

Podemos dizer que:

Derivando isso, vamos achar a equação da velocidade. Para derivar isso aí temos que usar a regra da cadeia:

Com essa equação podemos achar a velocidade angular da barra , pois sabemos que e .

Repare que o sentido positivo do eixo é apontando para baixo, certo? Então, a velocidade será negativa:

Agora vamos substituir tudo na nossa equação:

Derivando agora a equação da velocidade, vamos obter a equação da aceleração. Mas para derivar temos que usar a regra da cadeia e a regra do produto:

Com essa equação vamos achar a aceleração angular da barra .

Mas antes repare que a aceleração da guia está apontando no sentido negativo do eixo , então:

Substituindo o que temos:

Nesses tipos de questões temos que achar uma relação trigonométrica entre o que queremos saber e o que temos de informação. A informação que temos é que a velocidade de é de . Então, vamos achar alguma relação trigonométrica com o comprimento :

Repare neste triângulo formado. Podemos escrever o comprimento como:

Derivando a equação que achamos vamos obter a equação da velocidade:

Para resolver esta derivada temos que usar a regra da cadeia, pois o ângulo varia no tempo:

Como e a velocidade de é , então:

Essa é a velocidade angular com que gira em torno de .

Agora vamos ver o que está acontecendo com o ponto :

A questão pede a aceleração normal que é calculada pela seguinte fórmula:

Para achar o raio, vamos usar o seguinte triângulo:

Como é um triângulo retângulo, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras:

Agora sim podemos calcular a aceleração normal do ponto :

O que temos que fazer nesses tipos de questões é achar uma relação trigonométrica entre o que queremos saber e o que temos de informação. A questão quer saber o movimento de quando :

Temos que o comprimento da base pode ser escrito como:

Dividindo toda nossa equação por , temos:

Sabemos que , então:

Nós temos a seguinte relação:

Agora vamos derivar isso, para relacionar as velocidades angulares de e :

Sabemos que:

Como e , então:

Vamos derivar a equação que achamos no passo anterior para acharmos uma relação entre as acelerações angulares:

Para derivar isso temos que usar a regra da cadeia e a regra do produto e vamos ficar com:

Repare que a velocidade angular da barra é constante, então a sua velocidade angular será zero:

Vamos substituir o que temos:

Agora vamos achar uma equação que relacione o deslocamento vertical do bloco :

Repare que o deslocamento vertical do ponto será:

Sabemos que , e , então:

Ou seja, não teve deslocamento vertical.

Agora vamos derivar essa equação que achamos para achar uma equação para a velocidade de :

Substituindo o que temos:

Para acharmos a aceleração do bloco , temos que derivar a equação da velocidade que acabamos de encontrar:

Vamos ter que:

Substituindo os valores que já temos: