Teoria

Introdução

Você já ouviu falar que energia nunca pode ser destruída? Isso porque ela só pode ser transformada ou transferida...

Vamos supor que você ame esporte radical e vá praticar bungee jump!

Quando você está laaaá em cima, você tem uma energia que é associada a sua altura. E quando você começa a descer, a sua energia é transformada em movimento.

No caso do bungee jump, você é amarrado a uma corda elástica, então quando você estica totalmente a corda é como se você estivesse esticando um elástico. Dessa forma, esta corda faz um movimento de vai e vem até que a energia se dissipe totalmente!

Podemos dizer, então, que energia potencial é a capacidade que um corpo tem de realizar alguma ação.

Vamos aprender sobre a energia associada a uma altura e a energia associada a um corpo de propriedades elásticas. Então, bora começar!!!

Energia potencial: gravitacional e elástica

A energia potencial gravitacional está relacionada à altura que algum objeto que possui massa tem com relação a um referencial. Então, para que possamos medir alguma altura devemos primeiro atribuir um referencial nulo para alguma posição:

A altura H é medida em relação a linha onde V g = 0 que é o nosso referencial. É importante perceber que também é preciso adotar um sentido para medição. Com o eixo y apontado para cima, alturas acima de V g = 0 são positivas e alturas abaixo, negativas.

Bom, a fórmula geral para se calcular a energia potencial gravitacional é:

V p = m g h

Onde h é a distância do centro de gravidade do corpo até a linha em que V g = 0 .

No caso da energia potencial elástica ( V e l ), devemos proceder da mesma forma: adotamos uma origem para que possamos calcular os deslocamentos de um certo corpo. Assim:

E a energia é dada por:

V e l = k d 2 2

Observação: algumas vezes o enunciado vai te dizer que a mola já está esticada em x = 0 ou θ = 0 . Nesse caso, vamos ter que:

d = d 0 + d '

Onde d 0 é o deslocamento inicial e d ' é o deslocamento adicional que você vai calcular.

Equilíbrio

Para que um sistema esteja em equilíbrio temos que satisfazer as seguintes condições:

d V d x = 0

Ou:

d V d θ = 0

Ou, de forma geral:

d V d n = 0

Onde n é o que varia na função V (pode ser um ângulo, um comprimento na horizontal, na vertical, etc)!!!

Então, por exemplo, se a função V for igual a:

V x = x 2 + 2 x

O que devemos fazer é derivar esta expressão com relação à variável da equação (neste caso é x ):

d V d x = 2 x + 2

E depois igualar o resultado a zero:

2 x + 2 = 0       →     2 x + 1 = 0

x = - 1

Então, essa será a posição de equilíbrio!

Tipos de estabilidade

Além de determinar o ponto de equilíbrio, esse método nos permite determinar qual é a condição de equilíbrio: se é um equilíbrio instável, estável ou indiferente.

Vamos primeiro falar um pouco sobre cada um deles:

  • Equilíbrio instável:
  • Um sistema está em equilíbrio instável quando existe o equilíbrio, porém, ao se aplicar qualquer força o sistema sai do equilíbrio. Podemos dar o exemplo da bolinha abaixo:

  • Equilíbrio estável:
  • Nesse caso, o sistema não perde o equilíbrio por qualquer coisa. Se você aplicar uma força, o sistema tenderá a voltar ao equilíbrio, como no caso de uma bolinha em uma região funda:

  • Equilíbrio Indiferente:

Nesse caso, se existir a ação de uma força em um sistema, ele nem terá uma tendência a retornar ao equilíbrio nem sair dele. É o caso, por exemplo, de uma bolinha em chão plano:

Para se determinar qual é o tipo de equilíbrio, basta a gente calcular a derivada segunda da função V e substituir nesta expressão da segunda derivada o valor que achamos para a posição de equilíbrio no passo anterior.

Por fim é só verificar o sinal do resultado final que achamos seguindo estas condições aqui:

d 2 V d x 2 > 0 →     e s t á v e l

d 2 V d x 2 = 0 →       i n d i f e r e n t e

d 2 V d x 2 < 0 ��     i n s t á v e l

Então, nestes tipos de questões você deve:

  1. Adotar um referencial onde a energia potencial gravitacional será zero;
  2. Achar a equação da energia potencial total;
  3. Derivar a equação da energia potencial total e igualar a zero para achar a posição de equilíbrio;
  4. Derivar a equação da energia potencial mais uma vez e analisar se o resultado é igual, maior ou menor que zero para classificar o tipo de equilíbrio.

Partiu praticar?

Equilíbrio

Tipos de estabilidade

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A energia potencial de um sistema mecânico é dada por V = 6 x 3 - 9 x 2 + 7 , onde x é a coordenada de posição associada ao único grau de liberdade. Determine a posição, ou as posições, de equilíbrio e a condição de estabilidade do sistema de cada posição de equilíbrio.

Passo 1

Nosso primeiro passo é derivar com relação à x a expressão da energia mecânica:

Depois vamos igualar a zero:

d V d x = d ( 6 x 3 - 9 x 2 + 7 ) d x = 18 x 2 - 18 x

Repare que a nossa equação é do segundo grau, então teremos duas posições de equilíbrio!!!

Para determinar essas posições de equilíbrio devemos igualar a equação que achamos à zero:

d V d x = 0

18 x 2 - 18 x = 0

Podemos escrever a nossa equação dessa forma aqui:

18 x x - 1 = 0

x x - 1 = 0

Então, os valores de x que tornam a nossa equação igual a zero são:

x = 0  

  x = 1

E essas são as posições de equilíbrio que estávamos procurando!!!

Passo 2

Agora vamos ver se essas condições são de equilíbrio estável ou instável. Para isso temos que derivar mais uma vez a nossa expressão de energia:

d 2 V d x 2 = 36 x - 18

Agora temos que substituir os valores de x que achamos para a posição de equilíbrio nesta equação aí de cima:

d 2 V 1 d x 2 = 36 1 - 18 = 18

Como nosso resultado é maior que zero, então estamos na condição do equilíbrio estável:

d 2 V 1 d x 2 = 18 > 0         →         c o n d i ç ã o   e s t á v e l

E para x = 0 , temos que:

d 2 V 0 d x 2 = 36 0 - 18 = - 18

Como obtemos um resultado menor que zero, então estamos na condição do equilíbrio instável:

d 2 V 0 d x 2 = - 18 < 0           →         c o n d i ç ã o   i n s t á v e l

Assim: quando x = 1 será uma condição estável e quando x = 0 teremos uma condição instável.

Resposta

x = 1       →     c o n d i ç ã o   e s t á v e l

x = 0       →     c o n d i ç ã o   i n s t á v e l

Exercício Resolvido #2

A barra uniforme de massa m e comprimento L é sustentada no plano vertical por duas molas idênticas com rigidez k e comprimidas de um comprimento δ na posição vertical, θ = 0 . Determine a rigidez mínima k que garantirá uma posição de equilíbrio estável com θ = 0 . Pode-se considerar que as molas atuam na direção horizontal durante um pequeno movimento angular da barra.

Passo 1

Podemos desenhar melhor esse problema assim:

Onde G é o centro de gravidade da nossa barra!

Nós temos duas molas, não é mesmo? Quando a barra se deslocar em θ radianos, uma mola será comprimida e a outra será distendida. Assim, podemos dizer que existem duas energias potenciais elásticas uma para cada mola.

Para a mola que será esticada, vamos ter que:

V e l 1 = k x 2 2

Mas quanto vale x ? Repare que é o comprimento inicial da mola que foi dito no enunciado que é δ mais o quanto a mola esticou que pelo nosso desenho vale L s e n θ , então:

V e l 1 = k L s e n θ + δ 2 2

E para a mola que será comprimida teremos que o x é o comprimento inicial da mola que também é δ menos o quanto a mola comprimiu que é o mesmo L s e n θ , então:

V e l 2 = k x 2 2       →       V e l 2 = k δ - L s e n θ 2 2

Não podemos esquecer da energia potencial gravitacional:

V g = m g h     →     V g = m g L 2 c o s θ

Lembrando que h é a altura do centro de gravidade da barra!!!

Então, a nossa energia potencial total será a soma destas três formas de energias que achamos:

V = V e l 1 + V e l 2 + V g

V = m g L 2 c o s θ + k δ - L s e n θ 2 2 + k δ + L s e n θ 2 2

Passo 2

Agora precisamos derivar a nossa equação da energia total:

d V d θ = - m g L 2 s e n θ + 2 k L 2 s e n θ c o s θ

Repare que precisamos usar a regra da cadeia!

Será que a posição θ = 0 é uma posição de equilíbrio, como diz o enunciado? Para verificar isso temos que substituir θ = 0 na equação que acabamos de achar:

d V 0 d θ     →         - m g L 2 s e n 0 + 2 k L 2 s e n 0 cos ⁡ 0 = 0

Então, θ = 0 é uma posição de equilíbrio!!!

Passo 3

Agora vamos verificar a estabilidade e para isso precisamos derivar duas vezes a nossa equação da energia total:

d 2 V d θ 2 = - m g L 2 c o s θ + 2 k L 2 c o s θ c o s θ - 2 k L 2 s e n θ s e n θ

d 2 V d θ 2 = - m g L 2 c o s θ + 2 k L 2 c o s ⁡ ( 2 θ )

Passo 4

Para que o equilíbrio seja estável, devemos ter:

d 2 V 0 d θ 2 > 0

Então, vamos achar o valor de k mínimo para que isto aconteça quando θ = 0 :

- m g L 2 c o s ⁡ ( 0 ) + 2 k L 2 cos ⁡ 2 ⋅ 0 > 0

- m g L 2 + 2 k L 2 > 0       →       2 k L 2 > m g L 2

k > m g 4 L

Então, o menor valor possível para a rigidez da mola deve ser igual a:

k m í n = m g 4 L

Resposta

k m í n = m g 4 L

Exercício Resolvido #3

O pequeno cilindro de massa m e raio r está confinado a rolar sobre a superfície circular de raio R . Usando os métodos desta seção, prove que o cilindro é instável no caso ( a ) e estável no caso b .

Passo 1

Vamos considerar que V g = 0 é o nível de energia potencial nula no nosso sistema. Então, podemos desenhar o caso ( a ) assim:

A energia potencial gravitacional do cilindro é calculada pela seguinte fórmula:

V g 1 = m g h

Onde h é a distância vertical do centro de massa do cilindro até o nosso ponto onde a energia potencial é nula:

Então:

h = R + r c o s θ

Com isso conseguimos calcular a energia potencial gravitacional do cilindro:

V g 1 = m g h     →       V g 1 = m g R + r c o s θ

Passo 2

No outro caso temos o seguinte:

E a altura do centro de gravidade do cilindro?

h = - R - r c o s θ

Por que está negativo? Porque a altura está abaixo da nossa referência que é quando V g = 0 .

Dessa forma, a energia potencial gravitacional será:

V g 2 = m g h     →       V g 2 = - m g R - r c o s θ

Passo 3

Vamos testar os dois casos. Para isso temos que derivar a equação da energia potencial.

Vamos começar com o caso ( a ) . Sabemos que a energia potencial gravitacional neste caso é:

V g 1 = m g R + r c o s θ

Então, a derivando isso com relação a θ vamos ter que:

d V g 1 d θ = - m g R + r s e n θ

Para termos equilíbrio precisamos igualar esta equação a zero, então:

- m g R + r s e n θ = 0       →       s e n θ = 0

O s e n θ é zero em duas situações, quando:

θ = 0

θ = π

Neste caso, π tem que ser rejeitado porque não faz muito sentido. É como se a massa estivesse dentro da curva onde o cilindro se encontra.

Agora temos que derivar de novo para analisar a estabilidade:

d 2 V g 1 d θ 2 = - m g R + r c o s θ

Agora vamos substituir θ = 0 nesta expressão que acabamos de achar:

- m g R + r cos ⁡ 0

- m g R + r < 0

Repare que o resultado será negativo, então ele será sempre menor que zero e isso caracteriza a situação do equilíbrio instável!

Passo 4

Vamos fazer o mesmo processo para o segundo caso. A equação da energia potencial que achamos foi:

V g 2 = - m g R - r c o s θ

Agora vamos derivar ela com relação à θ :

d V g 2 d θ = m g R - r s e n θ

Para termos equilíbrio precisamos igualar esta equação a zero, então:

m g R - r s e n θ = 0       →       s e n θ = 0

O s e n θ é zero em duas situações, quando:

θ = 0

θ = π

Novamente vamos descartar a solução θ = π !

Agora temos que derivar de novo para analisar a estabilidade:

d 2 V g 2 d θ 2 = m g R - r c o s θ

Agora vamos substituir θ = 0 nesta expressão que acabamos de achar:

m g R - r cos ⁡ 0

m g R - r > 0

Repare que o resultado será positivo, então ele será sempre maior que zero e isso caracteriza a situação do equilíbrio estável!

Resposta

P r o v a   a c i m a

Exercício Resolvido #4

A barra uniforme de massa m e comprimento l é articulada em relação a um eixo horizontal que passa pela sua extremidade O e está presa a uma mola de torção, que exerce um torque M = K θ sobre ela, onde K é a rigidez da mola, expressa em unidades de torque por radianos, e θ é a deflexão angular em relação à vertical, medida em radianos. Determine o valor máximo de l , para o qual o equilíbrio na posição θ = 0 é estável.

Passo 1

A energia potencial associada à mola é dada por:

V e l = K θ 2 2

Repare que trocamos o x por θ , pois neste caso temos rotação θ da mola!

E a energia potencial gravitacional da barra?

Bom, vai ser dada pelo produto da massa, da gravidade e da altura do centro de gravidade:

V g = m g h

Para achar a altura do centro de gravidade vamos usar trigonometria:

Então:

h = l c o s θ 2

Substituindo na nossa fórmula, vamos ter que:

V g = m g h       →         V g = m g l 2 c o s θ

Passo 2

A energia total V será a soma das energias que achamos:

V = V e l + V g

V = K θ 2 2 + m g l 2 c o s θ

Passo 3

Agora temos que derivar com relação a θ a expressão da energia total que achamos:

d V d θ = K θ - m g l 2 s e n θ

d 2 V d θ 2 = K - m g l 2 c o s θ

Passo 4

Para que em θ = 0 exista uma equilíbrio devemos ter que:

d V 0 d θ = 0

Vamos ver se esta condição já foi satisfeita:

d V 0 d θ       →         K 0 - m g l 2 s e n 0 = 0

Então, a condição para ter equilíbrio foi satisfeita!

Passo 5

E para que este equilíbrio seja estável precisamos atender a esta condição aqui:

d 2 V 0 d θ 2 > 0

Então, vamos ter que derivar novamente a nossa expressão da energia total:

d 2 V d θ 2 = K - m g l 2 c o s θ

Agora vamos ver qual a condição para termos o equilíbrio estável:

d 2 V ( 0 ) d θ 2 > 0

K - m g l 2 c o s ⁡ ( 0 ) > 0

K - m g l 2 > 0       →             l < 2 K m g

Resposta

l < 2 K m g

Exercício Resolvido #5

Duas barras idênticas estão soldadas em um ângulo de 120 ° e são articuladas em O , como mostrado. A massa do apoio é pequena em comparação à massa das barras. Investigue a estabilidade da posição de equilíbrio mostrada.

Passo 1

Vamos considerar a massa das duas barras juntas igual a m . Então, cada barrinha terá a metade desta massa:

Não se esqueça que a massa do apoio é desprezível!!!

Vamos primeiro determinar o centro de gravidade do conjunto usando esta fórmula aqui:

Y - = ∑ y - i m i ∑ m i

Repare que y - é:

Então, vamos ter que:

Y - = ∑ y - i m i ∑ m i         →           Y - = m 2 L 2 s e n 30 ° + m 2 L 2 s e n 30 ° m 2 + m 2

Y - = 2 m 2 L 2 s e n 30 ° m         →           Y - = L 4

Passo 2

A força de reação está sendo aplicada em O . Assim, vamos calcular a energia potencial do corpo em relação ao ponto O :

V = V g = m g h

Esse h é a distância vertical do centro de gravidade até o ponto O que é a nossa referência:

Então, vamos ter que:

h = - L 4 - L 5 c o s θ

h = - L 20 c o s θ

Repare que o sinal negativo é porque estamos indo contra o sentido do eixo que criamos!

Agora podemos calcular a energia potencial do corpo em relação ao ponto O :

V g = m g h       →           V g = - m g L 20 c o s θ

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada da energia potencial em relação ao ângulo:

d V d θ = m g L 20 s e n θ

Para θ = 0 vamos ter que:

d V d θ = m g L 20 s e n 0 = 0

Agora vamos derivar mais uma vez a equação que achamos:

d 2 V d θ 2 = m g L 20 c o s θ

Para θ = 0 vamos ter que:

d 2 V d θ 2 = m g L 20 cos ⁡ 0

m g L 20 > 0         →     E s t á v e l

Então, a estrutura está estável!!!

Resposta

E s t á v e l

Exercício Resolvido #6

Um dos requisitos críticos no projeto de uma perna artificial é prevenir que a junta do joelho flambe sob carga quando a perna está esticada. Como uma primeira aproximação, simule a perna artificial como duas barras leves com uma mola de torção em seu ponto de união. A mola realiza um torque M = K β , que é proporcional ao ângulo de inclinação β na junta. Determine o valor mínimo de K que garantirá estabilidade da junta do joelho para β = 0 .

Passo 1

O sistema pode ser representado assim:

Mas repare que temos um triângulo com dois lados iguais a l , então o triângulo é isósceles e tem dois ângulos iguais:

Repare que o maior ângulo do nosso triângulo isósceles é igual a:

180 ° - β

E sabendo que a soma de todos os ângulos internos de um triângulo deve ser igual a 180 ° , vamos ter que:

α + α + 180 ° - β = 180 °

2 α + 180 ° - β = 180 °

2 α - β = 0

α = β 2

Beleza?

Então, teremos o seguinte sistema:

Vamos considerar o nosso referencial de energia potencial gravitacional nula como indicado na figura!!!

Passo 2

Temos duas energias potenciais...

A primeira é a energia potencial gravitacional:

V e 1 = m g h

O h é a distância da massa m até o nosso referencial, no nosso caso vamos ter que:

h = 2 l c o s β 2

Então:

V e 1 = m g h     →       V e 1 = 2 m g l c o s β 2

E a segunda é a energia potencial elástica:

V e 2 = K β 2 2

Então, para acharmos a expressão da energia total é só somarmos cada uma das energias:

V = V e 1 + V e 2

V = 2 m g l c o s β 2 + K β 2 2

Passo 3

Agora precisamos derivar esta equação com relação ao ângulo β :

d V d β = - m g l s e n β 2 + K β

Repare que tivemos que aplicar a regra da cadeia nesta derivada!

Para achar a posição de equilíbrio, temos que igualar a equação que achamos a zero:

- m g l s e n β 2 + K θ = 0

Para obtermos zero como resultado, o valor de β deve ser zero. Então, a nossa posição de equilíbrio é:

β = 0

Passo 4

Agora queremos saber o valor mínimo de K para que o equilíbrio seja estável. Então, vamos ter que derivar duas vezes a nossa equação da energia potencial total:

d 2 V d β 2 = - m g l c o s β 2 2 + K

Repare que tivemos que aplicar a regra da cadeia nesta derivada!

Sabemos que nossa posição de equilíbrio é β = 0 , então vamos substituir isso na equação que acabamos de achar:

- m g l c o s β 2 2 + K         →           - m g l c o s 0 2 2 + K

- m g l 2 + K

Para que o equilíbrio seja estável vamos ter que:

d 2 V ( β = 0 ) d x 2 > 0

- m g l 2 + K > 0

K > m g l 2

Então, o valor mínimo de K será:

K m í n = m g l 2

Resposta

K m í n = m g l 2

Exercício Resolvido #7

Uma extremidade da mola de torção está presa ao chão em A e a outra extremidade está presa ao eixo em B . A rigidez à torção K da mola elástica é o torque necessário para torcer a mola de um ângulo de um radiano. A mola resiste ao momento em torno do eixo, causado pela força de tração m g no cabo enrolado ao redor do tambor de raio r . Determine o valor de equilíbrio de h medido a partir da posição tracejada, na qual a mola não está torcida.

Passo 1

O sistema pode ser representado pelo desenho abaixo:

Passo 2

Temos duas energias potenciais...

A primeira é a energia potencial gravitacional:

V e 1 = m g h       →         V e 1 = - m g r θ

E a segunda é a energia potencial elástica:

V e 2 = K θ 2 2

Então, para acharmos a expressão da energia total é só somarmos cada uma das energias:

V = V e 1 + V e 2

V = - m g r θ + K θ 2 2

Passo 3

Agora precisamos derivar esta equação com relação ao ângulo θ :

d V d θ = - m g r + K θ

Como o sistema está em equilíbrio precisamos igualar a zero a equação que acabamos de achar:

- m g r + K θ = 0

K θ = m g r

A distância h que a corda andou corresponde ao comprimento r θ :

h = r θ   →   θ = h r

Substituindo isso na expressão que achamos, vamos ter que:

K θ = m g r       →       K h r = m g r

h = m g r 2 K

Resposta

h = m g r 2 K

Exercício Resolvido #8

O sistema formado por uma barra leve articulada, a massa m da extremidade e a mola, de rigidez k são mostradas em sua posição de equilíbrio. O parâmetro n é uma fração situada na faixa 0 < n < 1 . Mostre que o sistema é estável para todos os valores de n na faixa permissível.

Passo 1

Vamos primeiro usar o equilíbrio de momentos para descobrir o deslocamento da mola, δ K , para a situação em que o ângulo vale θ = 0 .

Temos:

∑ M O = 0

m g 1 - n L - F e l á s t i c a n L = 0     →     F e l á s t i c a = m g 1 - n n

Mas sabemos que a força elástica é calculada pela seguinte equação:

F e l á s t i c a = k δ K

Assim:

k δ K = m g 1 - n n               →             δ K =   m g 1 - n n k

Onde δ K é a distensão da mola quando a barra está na horizontal θ = 0 .

Passo 2

Agora vamos analisar o problema para um caso em que θ ≠ 0 :

Veja que o nível zero da energia potencial está no centro de giro da barra, ou seja, no ponto O . Assim, a energia potencial da massa m será:

V g = m g h

Onde h é a distância do centro de gravidade da massa m até o nosso ponto de referência que é onde V g = 0 , então:

h = - 1 - n L s e n θ

Repare que o sinal é negativo, pois o centro de gravidade está abaixo do nosso referencial!

Então, a energia potencial gravitacional será:

V g = m g h         →         V g = - m g 1 - n L s e n θ

Já a energia potencial da mola, será:

V e l = k d 2 2

Onde d é o comprimento da mola quando a barra está na horizontal mais o quanto ela esticou que é n L s e n θ :

d = n L s e n θ + δ K

d = n L s e n θ + m g 1 - n n k

Então, a energia potencial elástica é:

V e l = k d 2 2       →         V e l = k 2 n L s e n θ + m g 1 - n n k 2

Agora somamos a energia potencial gravitacional e a elástica para acharmos a energia potencial total ( V ):

V = V g + V e l

V = - m g 1 - n L s e n θ + k 2 n L s e n θ + m g 1 - n n k 2

Arrumando isso melhor, vamos ter que:

V = m 2 g 2 2 k n 2 1 - n 2 + n 2 L 2 k s e n 2 θ 2

Passo 3

Agora temos que derivar esta equação que achamos:

d V d θ = n 2 L 2 k s e n θ c o s θ

Para que haja equilíbrio, devemos igualar o que achamos a zero:

n 2 L 2 k s e n θ cos ⁡ θ = 0       →       s e n θ cos ⁡ θ = 0

Para que nossa expressão seja zero, devemos ter que:

θ = 0

Ou seja, em θ = 0 há equilíbrio. Partimos do caso geral e descobrimos que θ = 0 é a posição de equilíbrio.

Passo 4

Vamos derivar duas vezes a expressão da energia total:

d 2 V d θ 2 = n 2 L 2 k ( cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ )

E precisamos substituir θ = 0 para vermos o que acontece:

d 2 V ( 0 ) d θ 2 = n 2 L 2 k cos 2 ⁡ ( 0 ) - s e n 2 ( 0 )

d 2 V ( 0 ) d θ 2 = n 2 L 2 k

Como n 2 é sempre maior que zero da mesma forma que L 2 e k também serão, então podemos dizer que:

n 2 L 2 k > 0       para 0 < n < 1

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   a c i m a

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