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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 58

Determine a altura h do bloco B de modo que a barra esteja sempre em equilíbrio. As molas estão livres quando a barra está na posição vertical. O bloco tem um peso W .

Passo 1

Desejamos determinar a altura h para que as exigências do enunciado possam ser atendidas. Assim, tomando como referência o ponto A temos que a energia potencial gravitacional do bloco B é positiva pois o centro de gravidade se localiza acima do nosso ponto de partida. Tomando que a haste se desloca um ângulo pequeno θ .   Então, y = h ⋅ c o s θ , mas para um ângulo pequeno podemos fazer a seguinte aproximação c o s θ = 1 - θ 2 2 . Assim, vamos ter

U g = W ⋅ y = W ⋅ h ⋅ 1 - θ 2 2

Para a energia potencial elástica dado uma inclinação muito pequena podemos fazer

U e = 1 2 k s 2 ,   o n d e   s ≈ l θ 2

→ U e = 2 ⋅ 1 2 k ⋅ l ⋅ θ 2

A energia potencial total do sistema é

U = U e + U g =   k ⋅ l ⋅ θ 2 + W ⋅ h ⋅ 1 - θ 2 2

Passo 2

Tomando agora, a primeira derivada de U para avaliarmos o equilíbrio vamos ter

d U d θ = - W h θ + 2 k l 2 θ

No equilíbrio precisamos ter

d U d θ = 0 → θ ⋅ - W h + 2 k l 2 = 0

θ = 0 °

Agora, avaliando a segunda derivada vamos ter

d 2 U d θ 2 = - W h + 2 k l 2

Aplicando nosso ângulo e igualando a 0 nossa segunda derivada vemos que esta não depende de nenhum ângulo e dessa forma conseguimos descobrir o valor de h para a haste estar sempre em equilíbrio.

- W h + 2 k l 2 = 0 → W h = 2 k l 2 → h = 2 k l 2 W

Resposta

h = 2 k l 2 W

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