Forças em Três Dimensões

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Introdução

Imagine que você está dentro de um avião e de repente ele começa a passar por uma turbulência... Na turbulência, o avião sofre a ação de forças vindas de várias direções, sendo causadas pela movimentação do ar, além da ação do próprio peso do avião:

Você acha que dá para tratar esse problema da forma como estamos acostumados, ou seja, em duas dimensões?

Não!!!! Por isso vamos expandir nossos conhecimentos para o mundo 3 D . Bora lá!

Escrevendo o Vetor Força

Digamos que uma força F de módulo igual a 10   k N   esteja sendo aplicada em um ponto A   e a sua linha de ação percorre uma reta que passa por A e por um outro ponto B :

Nós sabemos que módulo da força é F , mas não sabemos como escrevê-la na forma vetorial. Como vamos fazer isso?

Vamos escreve-la, da seguinte maneira, se liga!

F → = F . n → A B

Mas quem é esse n → A B ? Ele nada mais é do que o vetor normalizado que nos dá a direção dessa força. E como podemos encontra-lo?

Usando esses dois pontos!!! Os dois pontos definem uma direção, certo? E o sentido é a informação que diz que a força parte de A para B .

Vamos montar o vetor A B → , que nos dará essa direção.

A B → = B - A = 2,1 , 1 - 4,0 , 2 = - 2,1 , - 1

Mas não podemos esquecer de normalizar este vetor, ou seja, dividir cada um dos seus termos pelo módulo do vetor.

De uma forma geral, teríamos:

n → A B = ( a , b , c ) a 2 + ( b ) 2 + c 2

Para o nosso caso:

n → A B = - 2,1 , - 1 - 2 2 + ( 1 ) 2 + - 1 2

n → A B = - 0.816 ;   0.408 ;   - 0.408

Ficou meio esquisito né? Que tal escrevermos com i ^ ,   j ^ e k ^ ? Onde esses três vetores são os vetores unitários das direções x , y e z

n → A B = - 0.816   i ^ + 0.408   j ^ - 0.408   k ^

Show de bola? Esse vetor define o sentido e a direção da nossa força.

Agora se quisermos escrever a força como um vetor, temos que multiplicar o seu módulo pelo vetor normalizado:

Onde F é o módulo da força. Então vai ficar assim:

F → = 10 . ( - 0.816   i ^ + 0.408   j ^ - 0.408   k ^ )

F → = - 8.16   i ^ + 4.08   j ^ - 4.08   k ^

Esse vai ser basicamente o processo que vamos usar para escrever o vetor força. Faremos isso várias vezes nos exercícios.

Obs.: O vetor unitário n → A B é, em alguns casos, chamado de versor.

Projeções

Em forças 2 D , você aprendeu uma forma simples de se projetar uma força em uma direção qualquer. Agora vamos expandir nossos horizontes, afinal de contas, aumentamos uma dimensão nessa parada né?

Mas não será tão complicado. Antigamente, você precisaria do ângulo entre a força F → e o vetor direção n → , certo? Agora não, pois para projetar a força na direção de n → qualquer, sendo n → um vetor unitário, basta você usar o produto escalar:

F n = F → ⋅ n →

Então vamos fazer uma brincadeira? Que tal fazermos a projeção da força F = 5 i ^ + 4 j ^ + 6 k ^ sobre o direção A B → do exemplo anteior?

Pessoal, uma dica, o desenho abaixo está mostrando tanto a força F → quanto a direção A B → . Mas não fique muito apegado ao desenho porque pode te confundir já que é um desenho tridimensional! Então olha rapidinho e parte para as contas, você vai ver que é mais simples!

Aplicando a nossa equação vamos ter:

F n = F → ⋅ n →

Substituindo (aqui vou usar a notação de parêntesis para ficar mais fácil de fazer o produto escalar):

F → = ( 5 ;   4 ;   6 )

n → A B = - 0.816 ;   0.408 ;   - 0.408

F n = ( 5,4 , 6 ) ⋅ - 0.816 ;   0.408 ;   - 0.408

F n = 5 × - 0.816 + 4 × 0.408 + ( 6 × - 0.408 )

F n = - 4.896   N

Mas como vimos no tópico de vetores, isso aí em cima não gera um vetor, e sim um escalar. Então, para representar a projeção como um vetor, basta multiplicar o resultado acima por n → (afinal de contas, a projeção terá a direção do vetor unitário):

F → n = F → . n → n →

ou

F → n = F n . n →

Como a gente já tem F n vamos utilizar a segunda equação e obter:

F → n = F n . n → A B

F → n = - 4.896   .     ( - 0.816   i ^ + 0.408   j ^ - 0.408   k ^ )

Como temos um escalar multiplicando um vetor é só usar a distributiva:

F → n = 4 i ^ - 2 j ^ - 2 k ^

Que pode ser escrito também como:

F → n = ( 4,2 , 2 )

Ângulo entre Força e Eixo

Bom, você viu que não precisa saber o ângulo entre uma determinada direção e o vetor força para fazer a projeção. Mas e se você quiser saber este ângulo?

Basta você usar a outra forma do produto escalar:

F → . n → = F → n → cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = F → . n → F → n →

Vamos fazer para o nosso exemplinho!! Lembrando que:

F → = ( 5 ;   4 ;   6 )

n → A B = - 0.816 ;   0.408 ;   - 0.408

Qual será o ângulo entre a força e a direção de projeção?

É só aplicar a equaçãozinha:

cos ⁡ θ = F → . n → A B F → n → A B

Agora precisamos do módulo de n → A B que será:

| n → A B | = ( - 0.816 ) 2 +     0.408 2 + - 0.408 2

| n → A B | = 1

Show de bola achamos 1, isso porque esse vetor já é normalizado né? Contiuemos então. Agora precisamos achar o módulo de F → :

| F → | = ( 4 ) 2 +   5 2 + 6 2

F → = 8,77   N

Como:

F n = F → ⋅ n →

F n = - 4.896   N

Então a gente pode substituir na equação:

cos ⁡ θ = F → . n → A B F → n → A B

cos ⁡ θ = - 4.896 ( 8,77 ) ( 1 )

cos ⁡ θ = - 0,558

θ = a r c c o s s ( - 0,558 )

θ = 124 °

obs: Pode não refletir muito bem na imagem porque estamos olhando um ângulo num sistema tridimensional beleza? Isso pode confundir mesmo!

De forma geral vamos ter o vetor n → normalizado então podemos fazer:

n → = 1 :

cos ⁡ θ = F → . n → F → n →

cos ⁡ θ = F → . n → F →    

θ = cos - 1 ⁡ F → . n → F →

Se uma questão te pedir apenas o valor do ângulo que uma certa força faz com alguma direção, basta você utilizar qualquer vetor que esteja na mesma direção e no mesmo sentido da força.

Partiu fazer uns exercícios?

Projeções

Ângulo entre Força e Eixo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

a ) Expresse F vetorialmente em termos dos vetores unitários i ^ ,   j ^ e k ^ . b ) Determine o ângulo entre F e o eixo y .

Passo 1

Vamos primeiro definir o vetor da direção O P . Sendo o ponto O :

O = 0,0 , 0

E o ponto P :

P = 40 , - 50,110

Temos:

O P = P - O = 40 , - 50,110

Normalizando-o:

n → O P = 1 50 2 + 40 2 + 110 2 . ( 40 i ^ - 50 j ^ + 110 k ^ )

Passo 2

Agora é só definir a força usando o vetor:

F → = F n → O P = 60 50 2 + 40 2 + 110 2 . ( 40 i ^ - 50 j ^ + 110 k ^ )

Efetuando as contas, chegamos a isso:

F → = 18,86 i ^ - 23,6 j ^ + 51,9 k ^   N

Passo 3

Nesse caso, achar o ângulo que a força faz com o eixo y é mais simples do que em outros casos que iremos ver. Basta você usar um triângulo retângulo:

Lembrando que o módulo de F → vale 60 N :

cos ⁡ θ y = F y F = 23,6 60 → cos ⁡ θ y = 0,393

θ y = cos - 1 ⁡ 0,393       →           θ y = 66,9 °

Mas como a componente da força na direção do eixo y tem sinal negativo, devemos considerar o suplemento desse ângulo. Ou seja:

θ y = 113,1 °

Resposta

a )   F → = 18,86 i ^ - 23,6 j ^ + 51,9 k ^

b )   θ y = 113,1 °

Exercício Resolvido #2

A força F de módulo 900   N e atua ao longo da diagonal do paralelepípedo, como mostrado. a )   Expresse F em termos de seu módulo multiplicado pelo vetor unitário apropriado, e b ) determine seus componentes x   e y .

Passo 1

O sentido da força já está mostrado na figura.

Vamos definir o ponto inicial e final que definem o vetor direção da força:

P i = 0,4 , 4

Sendo esse o ponto extremo da face superior do paralelepípedo.

E:

P f = 2,0 , 0

Assim, o vetor direção será dado por:

P i P f → = 2,0 , 0 - 0,4 , 4 = 2 , - 4 , - 4

E o vetor normalizado:

n → = 1 2 2 + - 4 2 + - 4 2 . 2 , - 4 , - 4 = 0.33 , - 0.67 , - 0.67

Passo 2

Assim:

F → = 900 . 0.33 , - 0.67 , - 0.67

F → = 297 i ^ - 603 j ^ - 603 k ^

Portanto,

F x = 297 N

F y = - 603 N

Resposta

a )   F → = 297 i ^ - 603 j ^ - 603 k ^   N

b )   F x = 297   N       e       F y = - 603   N

Exercício Resolvido #3

A torre de transmissão de micro-ondas com 70   m de altura é equilibrada por três cabos de amarração, como mostrado. O cabo A B suporta uma força trativa de 12   k N . Expresse em forma vetorial a força correspondente no ponto B .

Passo 1

Nós devemos descobrir quem é o vetor n que vai do ponto inicial B para o ponto A .

Esta é uma força trativa, pois ela tem uma tendência de fazer os dois pontos se aproximarem.

Passo 2

Beleza, então como vamos achar o vetor normalizado n ? Vamos primeiro gerar o vetor:

B A → = A - B

A é o ponto final e B o inicial. Depois vamos normalizá-lo.

Pela figura, da pra perceber que:

A = 0 i ^ + 0 j ^ + 70 k ^ = 0,0 , 70

E :

B = 35 i ^ - 25 j ^ + 10 k ^ = 35 , - 25,10

Então:

B A → = A - B = 0,0 , 70 - 35 , - 25,10 = - 35,25,60

Assim, normalizando:

n → = B A → B A → = 1 35 2 + 25 2 + 60 2 . - 35 i ^ + 25 j ^ + 60 k ^

Então, a força será dada por:

F → = F . n → = 12 . 1 35 2 + 25 2 + 60 2 . - 35 i ^ + 25 j ^ + 60 k ^

F → = - 5,69 i ^ + 4,06 j ^ + 9,75 k ^   k N

Resposta

F → = - 5,69 i ^ + 4,06 j ^ + 9,75 k ^   k N

Exercício Resolvido #4

Considere o sistema ilustrado na figura a seguir e determine os itens abaixo. (Use: s e n 30 ° = 1 2 e cos ⁡ 30 ° = 4 5 ).

  1. Calcule o versor na direção A B e defina a força F em notação vetorial cartesiana em termos deste versor.
  2. Calcule a intensidade da componente de F ao longo da direção A C .

Passo 1

Vamos calcular primeiro o ângulo que a força F → faz com o plano x y :

Então:

t g θ = 11 10

Assim:

θ = a r c t g 11 10 = 18,3 °

Veja a figura de novo: se quisermos calcular a componente y da força, primeiro temos que multiplicar por c o s ⁡ ( 18,3 ° ) de modo a rebater a força para o plano x y e depois por c o s ⁡ ( 30 ° ) para que ela fique no eixo y .

Assim, a componente y do versor é:

n y = cos ⁡ 18,3 . cos ⁡ 30 °

E a componente x   devemos multiplicar no final por s e n 30 ° :

n x = cos ⁡ 18,3 ° s e n 30 °

E a componente z ? Apenas definida por:

n z = - s e n ( 18,3 ° )

E é negativa por que a força aponta para baixo!

E esse vetor já está normalizado? Sim e podemos comprovar isso calculando o seu módulo que deve dar 1 como resposta:

n = cos ⁡ 18,3 ° s e n 30 ° 2 + cos ⁡ 18,3 . cos ⁡ 30 ° 2 + - s e n 18,3 ° 2 = 1

Passo 2

Definindo a força em termos de n → :

F → = F n → = 10 . cos ⁡ 18,3 ° . s e n 30 ° i ^ + 10 . cos ⁡ 18,3 . cos ⁡ 30 ° j ^ - 10 . s e n 18,3 ° k ^

F → = 4,74 i ^ + 8,22 j ^ - 3,14 k ^ = ( 4,74 ; 8,22 ; - 3,14 )

Passo 3

Basicamente, o item está te pedindo a projeção de F → em A C .

Pra isso, você tem que definir o vetor normal daquela direção. Então vamos trabalhar em cima do triângulo abaixo:

Perceba que a distância de C até a origem é dada por:

O C = 10 s e n 30 ° = 5   m

Agora podemos calcular o ângulo que o versor faz com a horizontal:

Assim:

β = a r c t g   11 5 = 33,5 °

Então:

n → A C = cos ⁡ 33,5 ° i ^ + 0 j ^ - s e n 33,5 ° k ^ = ( 0,83 ; 0 ; - 0,553 )

Passo 4

Agora é só fazer:

F A C = F → . n → A C = 4,74 ; 8,22 ; - 3,14 . 0,83 ; 0 ; - 0,553

F A C = 4,74 . 0,83 + 0 + - 3,14 . - 0,553

F A C = 5,67   k N

Resposta

a )   F → = 4,74 i ^ + 8,22 j ^ - 3,14 k ^ k N = ( 4,74 ; 8,22 ; - 3,14 ) k N

b )   5,67   k N

Exercício Resolvido #5

O tanque uniforme de 300   k g é suspenso por meio de um cabo de 10   m de comprimento, que está preso às laterais do tanque e sobre a pequena polia localizada em O . Se o cabo pode ser preso nos pontos A   e   B   o u   C   e   D , determine qual amarração produz a menor quantidade de tração no cabo. Qual é esta tração?

Passo 1

Primeiramente, veja que a força F → precisa equilibrar o peso. Assim, o módulo dela vai ser sempre igual a:

F → = P → = m g = 300.10 = 3000 N

Aqui nós vamos usar a regra do paralelogramo, visto em tópicos anteriores, pra calcular a tensão nos fios.

Como as distribuições em A B   o u   C D são sempre simétricas, a força T será a mesma em ambos os cabos:

Então:

F → 2 = T 2 + T 2 + 2 T . T c o s ( θ )

E o que vai mudar pra cada caso? O ângulo θ . Dessa forma, vamos conseguir analisar qual configuração gera o menor valor pra T .

Passo 2

Caso A B :

O triângulo formado tem os seguintes ângulos:

Por que a hipotenusa dos triângulos retângulos tem 5 m ?

Porque o enunciado disse que o cabo tem 10 m de comprimento, assim, cada metade dele tem que ter 5 m .

Com essas informações, podemos calcular θ :

θ = cos - 1 ⁡ 4 5 = 36,86 °

E α :

α + 2 θ = 180 → α = 180 - 2 θ = 106,26 °

Show de bola, agora é fácil achar T :

F → 2 = T 2 + T 2 + 2 T . T c o s ( α )

F → 2 = 2 T 2 1 + cos ⁡ α → F → 2 2 1 + cos ⁡ α = T

T = 3000 2 2 1 + cos ⁡ 106,26 ° = 2499,9   N

Passo 3

Para o caso C D , vamos fazer a mesma coisa, só que as dimensões são outras:

θ = cos - 1 ⁡ 2 5 = 66,42 °

α + 2 θ = 180 → α = 180 - 2 θ = 47,16 °

E:

F → 2 2 1 + cos ⁡ α = T

T = 3000 2 2 1 + cos ⁡ 47,16 ° ° = 1636,6 N

Assim, a amarração em C D produz a menor tensão e ela vale:

T → = 1636,6   N

Resposta

A   a m a r r a ç ã o   e m   C D   p r o d u z   a   m e n o r   t e n s ã o

T → = 1636,6   N

Exercício Resolvido #6

O tensionador é apertado até que a força trativa no cabo A B valha 2,4   k N . a )   Determine a expressão vetorial para a força trativa T , como uma força atuando no elemento A D . b )   Ache também o módulo da projeção de T ao longo da linha A C .

Passo 1

A força age no elemento A D , ou seja, no ponto A . Como a força é trativa, ela deve apontar de A para B .

Assim, o ponto A é o ponto inicial e B o final.

Podemos escrever a força trativa como:

T → = T . n → A B

Então, devemos achar esse vetor normalizado n → A B .

Passo 2

Pela figura do enunciado, o ponto A é dado por:

A = 0 i ^ + 1 j ^ + 5 k ^ = 0,1 , 5

E B por:

B = 2 i ^ + 3 j ^ + 0 k ^ = 2,3 , 0

Assim:

A B → = B - A = 2,3 , 0 - 0 , 1 , 5 = ( 2,2 , - 5 )

Assim:

n → A B = A B → A B → = 1 2 2 + 2 2 + - 5 2 . 2 i ^ + 2 j ^ - 5 k ^

Assim, a força pode ser escrita assim:

T → = T . n → A B = 2,4 . 1 2 2 + 2 2 + - 5 2 . 2 i ^ + 2 j ^ - 5 k ^

T → = 0,836 i ^ + 0,836 j ^ - 2,09 k ^   k N

Passo 3

Pra gente achar a projeção da força em A C , primeiro temos que definir o vetor unitário que representa essa direção. Nós já sabemos quem é o ponto A , precisamos só definir o ponto C :

C = 2,0 , 0

Assim:

A C → = 2,0 , 0 - 0,1 , 5 = ( 2 , - 1 , - 5 )

Então:

n → A B = A C → A C → = 1 2 2 + - 1 2 + 5 2 . 2 i ^ - 1 j ^ - 5 k ^

n → A B = 0,365 i ^ - 0,183 j ^ - 0,913 k ^

Passo 4

Para achar a projeção, basta fazer o produto escalar entre a força e o vetor que define a direção A C :

T → . n → A B = 0,836 i ^ + 0,836 j ^ - 2,09 k ^ . ( 0,365 i ^ - 0,183 j ^ - 0,913 k ^ )

T → . n → A B = 2,06 k N

Veja só: Com isso, nós achamos o módulo do vetor. E qual é a direção? A direção A C → , claro. Então:

T → A C = 2,06 ( 0,365 i ^ - 0,183 j ^ - 0,913 k ^ ) k N

Resposta

a )   T → = ( 0,836 i ^ + 0,836 j ^ - 2,09 k ^ )   k N

b )   T → A C = ( 0,752 i ^ - 0,377 j ^ - 1,88 k ^ ) k N

Exercício Resolvido #7

Se M está no centro da face A B C D do sólido retangular, a )   expresse F como um vetor em termos dos vetores unitários i ,   j   e   k . b )   Determina a projeção escalar de F ao longo da linha A E . Os valores de F ,   a ,   b   e   c são conhecidos.

Passo 1

Vamos definir a direção O M → . O ponto O é o ponto inicial e origem do sistema, assim:

O = 0,0 , 0

M está no centro de uma das faces. Pela figura:

M = a 2 , b , c 2

Assim:

O M → = a 2 , b , c 2 - 0,0 , 0 = a 2 , b , c 2

E o vetor unitário nessa direção é dado por:

n → O M = 1 a 2 4 + b 2 + c 2 4 . a 2 , b , c 2

Passo 2

Assim, a força é definida por:

F → = F . 1 a 2 4 + b 2 + c 2 4 . a 2 i ^ + b j ^ + c 2 k ^

Passo 3

Para achar a projeção da força na linha A E , vamos primeiro definir o vetor unitário que simboliza essa direção:

E = 0,0 , c

A = a , b , c

A E → = E - A = - a , - b , 0

n → E A = 1 a 2 + b 2 + 0 2 . - a i ^ - b j ^ + 0 k ^ = 1 a 2 + b 2 . - a i ^ - b j ^

Passo 4

Então, a projeção será dada pelo produto escalar abaixo:

F → E A = F → . n → E A = F a 2 4 + b 2 + c 2 4 . a 2 i ^ + b j ^ + c 2 k ^ . 1 a 2 + b 2 . - a i ^ - b j ^

Efetuando o produto termo a termo, vamos ter que:

F E A = - F a 2 + 2 b 2 a 2 + b 2 . a 2 + 4 b 2 + c 2

E qual a direção? n → E A :

F → E A = - F a 2 + 2 b 2 a 2 + b 2 . a 2 + 4 b 2 + c 2 n → E A

Resposta

a )   F → = F . 1 a 2 4 + b 2 + c 2 4 . a 2 i ^ + b j ^ + c 2 k ^

b )   F → E A = - F a 2 + 2 b 2 a 2 + b 2 . a 2 + 4 b 2 + c 2 n → E A

Exercício Resolvido #8

Determine o ângulo θ entre a força de 200   N e a linha O C .

Passo 1

O ângulo é o mesmo ângulo que a direção A B faz com O C . Vamos procurar esse ângulo então:

A B → = B - A = 0,240,80 - 120,0 , 0 = - 120,240,80

Passo 2

A direção O C é dada por:

O C → = C - O = 120,240,0 - 0,0 , 0 = ( 120,240,0 )

Passo 3

Agora, usando:

A B → O C → cos ⁡ θ = A B → . O C →         →         c cos ⁡ θ = A B → . O C → A B → O C →

Então:

θ = cos - 1 ⁡ - 120,240,80 . 120,240,0 - 120 2 + 240 2 + 80 2 . 120 2 + 240 2  

θ = cos - 1 ⁡ 0,57 = 54,9 °

Resposta

θ = 54,9 °

Exercício Resolvido #9

Uma força F atua ao longo da linha A B dentro da casca cilíndrica circular, como mostrado. As quantidades r ,   h ,   θ   e   F são conhecidas. Usando as coordenadas x ,   y   e   z mostradas, expresse F como um vetor.

Passo 1

Essa é mais tranquila do que parece: primeiro vamos definir o vetor da direção A B :

A B → = B - A

Depois, normalizando-o, vamos achar n → A B . Com esse vetor, vamos escrever a força como sendo:

F → = F . n → A B

Passo 2

O ponto A pode ser definido por:

A x A , y A , z A = 0 , r , 0

Dá pra ver pelo desenho?

No desenho não existe a sinalização de um ângulo e, além disso, o ponto está na face superior do cilindro. Assim, como o eixo y é o eixo vertical, dá pra gente concluir que y = r e as outras coordenadas são nulas.

E o ponto B ?

Veja só: nesse caso, o raio faz um ângulo θ com a vertical. Além disso, ele está a uma distância h da origem. Assim:

B x B , y B , z B = ( h ,   r c o s θ ,   r s e n θ )

Passo 3

Então:

A B → = B - A = h ,   r c o s θ ,   r s e n θ - 0 , r , 0 = h ,   r c o s θ - 1 , r s e n θ

Bora calcular o vetor normalizado nessa direção, então?

A B → = h 2 + r 2 c o s θ - 1 2 + r 2 s e n 2 θ

Assim:

n → A B = 1 h 2 + r 2 c o s θ - 1 2 + r 2 s e n 2 θ ( h i ^ + r cos ⁡ θ - 1 j ^ + r s e n θ k ^ )

Passo 4

E por fim:

F → = F . n → A B = F h 2 + r 2 c o s θ - 1 2 + r 2 s e n 2 θ ( h i ^ + r cos ⁡ θ - 1 j ^ + r s e n θ k ^ )

Resposta

F → = F h 2 + r 2 c o s θ - 1 2 + r 2 s e n 2 θ ( h i ^ + r cos ⁡ θ - 1 j ^ + r s e n θ k ^ )

Exercício Resolvido #10

Uma força F é aplicada à superfície eda esfera como mostrado. Os ângulos θ   e   ϕ localizam o ponto P   e   M é o ponto médio de O N . Expresse F de forma vetorial, usando as coordenadas x , y   e   z dadas.

Dica:     sec 2 ⁡ θ = 1 + t g 2 θ

Passo 1

Vamos primeiro analisar o plano O N P , que faz um ângulo ϕ com z :

Nós temos que achar quanto vale o ângulo β , pois ele é o ângulo que a linha de ação da força faz com a horizontal, conforme o desenho acima.

Beleza, mas como achar isso?

Perceba que existe um triângulo retângulo que possui um dos ângulos como sendo β . Nesse triângulo, os catetos são:

c a t e t o   a d j a c e n t e = R s e n ϕ - R 2

c a t e t o   o p o s t o = R c o s ϕ

E esse adjacente tá certo? Sim, perca que a projeção de R na horizontal é R c o s ( ϕ ) , porém a força parte do ponto M , que o ponto médio do segmento O N . Esse segmento, por sua vez, tem o comprimento do raio da esfera.

Então:

t g β = R c o s ϕ R s e n ϕ - R 2 = 2 cos ⁡ ϕ 2 s e n ϕ - 1

Agora usando:

s e c β = 1 c o s β

sec 2 β ⁡ = 1 + t g 2 β → cos 2 ⁡ β = 1 1 + t g 2 β

cos 2 ⁡ β = 1 1 + 2 cos ⁡ ϕ 2 s e n ϕ - 1 2

Arrumando isso e tirando raiz quadrada nos dois lados:

c o s β = 2 s e n ϕ - 1 2 s e n ϕ - 1 2 + 4 cos 2 ⁡ ϕ

E usando:

cos 2 ⁡ β + s e n 2 β = 1 → s e n β = 1 - cos 2 ⁡ β  

s e n β = 2 c o s ⁡ ( ϕ ) 2 s e n ϕ - 1 2 + 2 cos 2 ⁡ ϕ

Com isso, temos o que precisamos para calcular as componentes da força.

Assim, no segmento O N , a força tem como componente horizontal:

F h = F c o s β

E vertical:

F v = F s e n ( β )

Passo 2

Beleza, mas essas componentes foram calculadas no segmento O N . Queremos saber as componentes nos eixos x , y   e   z .

Dá uma olhada:

Então, a componente x é dada por:

F x = F h cos ⁡ θ = F c o s β cos ⁡ θ

F y = F h s e n θ = F c o s β s e n θ

E F z continua sendo o F v :

F z = F v = F s e n β

Passo 3

Então, a força pode ser escrita como:

F → = F x i ^ + F y j ^ + F z k ^

F → = F c o s β cos ⁡ θ i ^ + F c o s β s e n θ j ^ + F s e n β k ^

2 c o s ⁡ ( ϕ ) 2 s e n ϕ - 1 2 + 2 cos 2 ⁡ ϕ

F → = F 2 s e n ϕ - 1 2 + 2 cos 2 ⁡ ϕ   2 s e n ϕ - 1 cos ⁡ θ i ^ + 2 s e n ϕ - 1 s e n θ j ^ + 2 cos ⁡ ϕ k ^

Resposta

F → = F 2 s e n ϕ - 1 2 + 2 cos 2 ⁡ ϕ   2 s e n ϕ - 1 cos ⁡ θ i ^ + 2 s e n ϕ - 1 s e n θ j ^ + 2 cos ⁡ ϕ k ^

Exercícios de Livros Relacionados

Uma equipe de instalação de cabos quer estabelecer a dependência da força de tração T com a deflexão h do cabo. Faça um gráfico tanto da força trativa mínima T 0 quanto da força tativa T nos apoios A
Determine o ângulo theta entre a força de 200 N e a linha O C .
A mola com constante k = 2,6k N / m está presa ao disco no ponto A e à placa da extremidade no ponto B , como mostrado. A mola não está esticada quando θ A e θ B são, ambos, zero. Se o disco é girado
136. determine a intensidade da componente projetada da força de 500N que atua ao longo do eixo B C do tubo.
A força trativa no cabo de sustentação A B vale 10k N . Escreva, como um vetor T → , a força que o cabo exerce sobre a haste B C . Determine os ângulos θ x , θ y e θ z que a linha de ação de T → faz c