Forças em Três Dimensões
Produzido por Pablo RicardoTeoria
Introdução
Imagine que você está dentro de um avião e de repente ele começa a passar por uma turbulência... Na turbulência, o avião sofre a ação de forças vindas de várias direções, sendo causadas pela movimentação do ar, além da ação do próprio peso do avião:
Você acha que dá para tratar esse problema da forma como estamos acostumados, ou seja, em duas dimensões?
Não!!!! Por isso vamos expandir nossos conhecimentos para o mundo Bora lá!
Escrevendo o Vetor Força
Digamos que uma força de módulo igual a esteja sendo aplicada em um ponto e a sua linha de ação percorre uma reta que passa por e por um outro ponto
Nós sabemos que módulo da força é , mas não sabemos como escrevê-la na forma vetorial. Como vamos fazer isso?
Vamos escreve-la, da seguinte maneira, se liga!
Mas quem é esse ? Ele nada mais é do que o vetor normalizado que nos dá a direção dessa força. E como podemos encontra-lo?
Usando esses dois pontos!!! Os dois pontos definem uma direção, certo? E o sentido é a informação que diz que a força parte de para
Vamos montar o vetor que nos dará essa direção.
Mas não podemos esquecer de normalizar este vetor, ou seja, dividir cada um dos seus termos pelo módulo do vetor.
De uma forma geral, teríamos:
Para o nosso caso:
Ficou meio esquisito né? Que tal escrevermos com e ? Onde esses três vetores são os vetores unitários das direções e
Show de bola? Esse vetor define o sentido e a direção da nossa força.
Agora se quisermos escrever a força como um vetor, temos que multiplicar o seu módulo pelo vetor normalizado:
Onde é o módulo da força. Então vai ficar assim:
Esse vai ser basicamente o processo que vamos usar para escrever o vetor força. Faremos isso várias vezes nos exercícios.
Obs.: O vetor unitário é, em alguns casos, chamado de versor.
Projeções
Em forças , você aprendeu uma forma simples de se projetar uma força em uma direção qualquer. Agora vamos expandir nossos horizontes, afinal de contas, aumentamos uma dimensão nessa parada né?
Mas não será tão complicado. Antigamente, você precisaria do ângulo entre a força e o vetor direção , certo? Agora não, pois para projetar a força na direção de qualquer, sendo um vetor unitário, basta você usar o produto escalar:
Então vamos fazer uma brincadeira? Que tal fazermos a projeção da força sobre o direção do exemplo anteior?
Pessoal, uma dica, o desenho abaixo está mostrando tanto a força quanto a direção . Mas não fique muito apegado ao desenho porque pode te confundir já que é um desenho tridimensional! Então olha rapidinho e parte para as contas, você vai ver que é mais simples!
Aplicando a nossa equação vamos ter:
Substituindo (aqui vou usar a notação de parêntesis para ficar mais fácil de fazer o produto escalar):
Mas como vimos no tópico de vetores, isso aí em cima não gera um vetor, e sim um escalar. Então, para representar a projeção como um vetor, basta multiplicar o resultado acima por (afinal de contas, a projeção terá a direção do vetor unitário):
ou
Como a gente já tem vamos utilizar a segunda equação e obter:
Como temos um escalar multiplicando um vetor é só usar a distributiva:
Que pode ser escrito também como:
Ângulo entre Força e Eixo
Bom, você viu que não precisa saber o ângulo entre uma determinada direção e o vetor força para fazer a projeção. Mas e se você quiser saber este ângulo?
Basta você usar a outra forma do produto escalar:
Vamos fazer para o nosso exemplinho!! Lembrando que:
Qual será o ângulo entre a força e a direção de projeção?
É só aplicar a equaçãozinha:
Agora precisamos do módulo de que será:
Show de bola achamos 1, isso porque esse vetor já é normalizado né? Contiuemos então. Agora precisamos achar o módulo de :
Como:
Então a gente pode substituir na equação:
obs: Pode não refletir muito bem na imagem porque estamos olhando um ângulo num sistema tridimensional beleza? Isso pode confundir mesmo!
De forma geral vamos ter o vetor normalizado então podemos fazer:
Se uma questão te pedir apenas o valor do ângulo que uma certa força faz com alguma direção, basta você utilizar qualquer vetor que esteja na mesma direção e no mesmo sentido da força.
Partiu fazer uns exercícios?