Momentos em Três Dimensões

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Introdução

Imagine um paralelogramo com uma força aplicada em um dos seus lados, assim:

E queremos saber o momento no ponto P . Como faremos isso?

Repare que agora temos um corpo com três dimensões... Então, quais das três distâncias têm que pegar para calcular o momento no ponto P ?

Quando olhamos só para o eixo x , a força F → está distante 5   m   do ponto P , mas quando olhamos para o eixo z percebemos que a força está distante 10   m de P . E aí?

É isso que vamos aprender agora, partiu?

Momento vetorial

Pra calcular o momento, basta a gente aplicar o produto vetorial que o representa:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ r x r y r z F x F y F z

Antes de tudo, você precisa descobrir duas coisas: quem é o vetor r → e quem é o vetor F → .

Vamos pegar aquele exemplo inicial de novo:

O vetor r → é o vetor posição que começa no ponto onde você quer calcular o momento (no nosso caso o ponto P ) e termina em qualquer ponto da linha de atuação da força, assim:

A linha de atuação da força é uma linha ao longo da direção da força F , como podemos ver no desenho acima. Então, é muito mais fácil colocar o vetor r → na face do cubo do que chegando em outro ponto da linha de atuação, pois assim ele terá somente duas componentes: no eixo x e z , assim:

r → = 5 i ^ + 0 j ^ + 10 k ^   m

Se colocássemos o vetor r → terminando onde a força F →   começa, a sua componente no eixo y não seria mais zero o que daria mais trabalho nos cálculos!

A força F → está na direção do eixo y , então vamos supor que seu módulo seja igual a 20   N , então:

F → = 20 j ^   N

Agora é só fazer este produto vetorial:

M → = r → × F →         →             M → = 5 i ^ + 0 j ^ + 10 k ^ × 20 j ^

M → = i ^ j ^ k ^ 5 0 10 0 20 0 = 0 10 20 0 i ^ - 5 10 0 0 j ^ + 5 0 0 20 k ^ =

M → = - 200 i ^ + 100 k ^   N ⋅ m

Teorema de Varignon em Três Dimensões

Se você achou o produto vetorial complicado, vou te mostrar outra maneira de calcular o momento! Vamos seguir esse passo a passo aqui:

  1. Primeira coisa que você tem que fazer é achar as componentes da força em cada eixo;
  2. Segundo passo é calcular o momento que cada componente faz com relação ao ponto P e usar a regra da mão direita para saber o seu sentido;
  3. Agora é só somar todos os momentos para achar o momento total!

Mas a regra aqui é: para cada componente você vai pegar a distância perpendicular a ela e multiplicar pelo módulo da componente.

  • Se a sua componente está no eixo x , então você vai pegar as distâncias que estão nos eixos y e z , pois esses dois eixos são perpendicular ao eixo x ;
  • Se sua componente está no eixo y , você vai pegar as distâncias que estão nos eixos x e z . Esse é o caso do nosso exemplo, olha:
  • Se sua componente está no eixo z , você vai pegar as distâncias que estão nos eixos x e y .
  • Repare que quando a força é paralela a um eixo, ela não gera momento em nenhum ponto que pertença a este eixo.

    Quando você utiliza esse método é preciso usar também a regra da mão direita.

    Para entendermos melhor vamos usar o nosso exemplo:

    Já sabemos as duas distâncias que temos que pegar para calcular o momento com relação ao ponto P . Agora vamos calcular cada momento e usar a regra da mão direita para cada um deles.

  • Cálculo do momento para a distância que está no eixo z : vamos olhar para a face da frente do retângulo, pois nela estão todas as informações que vamos usar:
  • O módulo do momento vai ser:

    M = F d         →             M = 20 ( 10 )

    M = 200   N ⋅ m

    Mas qual o sentido desse momento? E em que eixo ele está?

    Essas perguntas são respondidas pela regra da mão direita: é só você colocar os 4 dedos da palma da sua mão direita (exceto o polegar) no sentido que a seta da força aponta e fazer sua mão girar em torno do ponto P :

    Repare que seu polegar aponta para dentro da tela, no sentido negativo do eixo x . Então, o vetor momento no eixo x será:

    M → x = - 200 i ^   N ⋅ m

  • Cálculo do momento para a distância que está no eixo x : vamos olhar para a face de cima do retângulo, pois nela estão todas as informações que vamos usar agora:

O módulo do momento vai ser:

M = F d         →             M = 20 ( 5 )

M = 100   N ⋅ m

Pela regra da mão direita você coloca os 4 dedos da palma da sua mão direita (exceto o polegar) no sentido que a seta da força aponta e fazer sua mão girar em torno do ponto P :

Repare que seu polegar aponta para fora da tela, no sentido positivo do eixo z . Então, o vetor momento no eixo z será:

M → z = 100 k ^   N ⋅ m

Agora é só somarmos os dois momentos:

M → = ( - 200 i ^ + 100 k ^ )   N ⋅ m  

Repare que deu a mesma coisa do cálculo por produto vetorial, mas dessa maneira acabou dando mais trabalho!

Projeção de um momento em uma direção

Pode ser que a questão queira que você calcule o momento em relação a um certo eixo, ou direção. Vamos dizer que o objetivo seja calcular o momento em relação a uma direção   n → . O que você fará, então?

Você vai projetar esse momento na direção n → , como fazíamos com as forças:

M → = M → ⋅ n → n →

Show de bola? Só isso!

Ah, existe outra forma de se representar isso. Como podemos escrever o vetor momento assim:

M → = r → × F →

Então:

M → = r → × F → ⋅ n → n →

A expressão r → × F → ⋅ n → é chamada de produto escalar triplo.

Preste atenção em uma coisa: ali dentro tem dois produtos, um escalar e um vetorial. Você precisa fazer primeiro o vetorial, sempre!

Caso contrário, quando você fizer F → . n → , será gerado um escalar e ele não poderá ser usado no produto vetorial com r → . Show?

Eu te aconselho, sinceramente, a primeiro calcular M → como já conhecemos e depois seguir com os cálculos do produto escalar. Isso te dará segurança e você não vai errar bobeira. Beleza?

É isso, bora fazer uns exercícios?

Teorema de Varignon em Três Dimensões

Projeção de um momento em uma direção

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine o momento da força F → em relação ao ponto O .

Passo 1

Vamos resolver essa questão usando o produto vetorial, porque os cálculos ficam muito mais simples.

Então, o nosso primeiro passo é determinar o vetor posição r → que começa no ponto O e chega até qualquer ponto da linha de atuação da força:

Então, o vetor posição será:

r → = 0 i ^ + b j ^ + c k ^

Passo 2

A força F → só tem componente no eixo x e podemos escrever sua forma vetorial assim:

F → = F i ^

Pronto! Agora é só fazermos o produt vetorial:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ 0 b c F 0 0

Esse determinante fica:

M → = b c 0 0 i ^ - 0 c F 0 j ^ + 0 b F 0 k ^

M → = F c j ^ - F b k ^  

Resposta

M → = F c j ^ - F b k ^  

Exercício Resolvido #2

Um mecânico aplica a força horizontal de 100   N perpendicularmente à chave de boca, como indicado na figura. Determine o momento desta força em relação ao centro do parafuso em O . A linha do centro da chave está situada no plano x y .

Passo 1

Vamos desenhar esse sistema sem os corpos:

E definir primeiro o vetor r → :

Como você pode ver, ele coincide com o segmento O A . Assim, podemos defini-lo em termos das projeções do segmento nos eixos:

A partir dessa figura podemos perceber que a projeção de O A no eixo x   vale :

O A - x = 185 cos ⁡ 15 ° m m

E a projeção no eixo y é:

O A - y = 185 s e n 15 °   m m

Então, o vetor posição será esse carinha aqui:

r → = 185 cos ⁡ 15 ° i ^ + 185 s e n 15 ° j ^   m m

r → = 178,69 i ^ + 47,88 j ^   m m

Ou em metros:

r → = 0,179 i ^ + 0,0479 j ^   m

Passo 2

Pelo enunciado, dá para ver que a força é paralela ao eixo z e aponta no sentido positivo do mesmo. Sendo assim:

F → = 100 k ^

Então, vamos fazer o produto vetorial:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ 0,179 0,0479 0 0 0 100

Teremos que:

M → = 0,0479 0 0 100 i ^ - 0,179 0 0 100 j ^ + 0,179 0,0479 0 0 k ^

O último determinante será nulo. Fazendo os dois determinantes, temos que:

M → = 4,79 i ^ - 17,9 j ^   N . m

Resposta

M → = 4,79 i ^ - 17,9 j ^   N . m

Exercício Resolvido #3

As duas forças que atuam nos cabos das chaves de grifo formam um binário M . Expresse o binário como um vetor.

Passo 1

Nessa questão nós vamos fazer diferente: vamos dividir esse problema tridimensional em dois problemas bidimensionais.

Vamos chamar de A   e de B os pontos onde cada força atua no sistema. Assim, visto de cima, temos:

E visto de frente:

Show?

O que vamos fazer é o seguinte: calcular o módulo de cada uma das componentes do vetor momento total e depois definir o sentido e a direção dessas componentes usando a regra da mão direita.

Passo 2

Colocando os eixos e as distâncias na figura da vista de cima:

Não dá para ver as forças nessa vistas porque elas são perpendiculares à tela. Mas da figura do enunciado, você consegue saber que a força que atua em A aponta para fora da tela e a que atua em B atua para dentro.

Além disso, a distância entre as forças é de 500   m m , assim, o binário é dado por:

M x = 150 500.10 - 3 = 75   N ⋅ m

Qual a direção desse vetor momento? Bora usar a regra da mão direita:

Pela regra, o vetor aponta na direção negativa de x . Assim:

M x = - 75 i ^   N ⋅ m

Bora calcular a outra componente.

Passo 3

Fazendo a mesma coisa de antes, mas agora com relação ao eixo y :

M y = 150 . 150.10 - 3 = 22,5   N ⋅ m

Repare que uma das forças não tem braço de alavanca com relação ao eixo y , então o seu momento é nulo.

E pra determinar o sentido? Regra da mão direita:

Dá pra ver que essa componente aponta na direção positiva de y , né? Assim:

M y = 22,5 j ^   N ⋅ m

Passo 4

O vetor momento binário será dado por:

M → = M → x + M → y

M → = - 75 i ^ + 22,5 j ^   N ⋅ m

Resposta

M → = - 75 i ^ + 22,5 j ^   N ⋅ m

Exercício Resolvido #4

Um helicóptero está mostrado e são dadas certas coordenadas tridimensionais. Durante um teste no solo, uma força aerodinâmica de 400   N é aplicada ao rotor de cauda P , como mostrado. Determine o momento desta força em relação ao ponto O da fuselagem.

Passo 1

Vamos desenhar esse sistema sem o helicóptero, afinal de contas ele atrapalha um pouquinho a nossa visualização, né?

Ou seja, a força está sendo aplicada no ponto:

P = ( - 6 ; 0.8 ; 1.2 )

Então, o vetor distância do ponto P até o ponto O é dado por:

r → = P O → = O - P

r → = 0,0 , 0 - - 6,0.8,1.2 = 6 , - 0.8 , - 1.2

r → = 6 i ^ - 0.8 j ^ - 1.2 k ^   m  

E a força? Bom, pelo desenho do enunciado, a força é paralela ao eixo y , no sentido negativo do mesmo. Então, teremos esse carinha aqui:

F → = - 400 j ^   N

Passo 2

Show de bola! Temos tudo para calcular o nosso momento:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ r 1 r 2 r 3 F 1 F 2 F 3 = i ^ j ^ k ^ 6 - 0.8 - 1.2 0 - 400 0

Então, vamos ter que:

M → = - 0,8 - 1,2 - 400 0 i ^ - 6 - 1,2 0 0 j ^ + 6 - 0.8 0 - 400 k ^

O determinante do centro, que tem como unitário o j ^ , vai ser nulo, assim:

M → = 480 i ^ - - 2400 k ^

M → = - 480 i ^ - 2400 k ^   N ⋅ m

Sacou? É aquele mesmo passo a passo de sempre: define o vetor r → , depois define o vetor F → e, por fim, joga no determinante do produto vetorial.

Resposta

M → = - 480 i ^ - 2400 k ^   N ⋅ m

Exercício Resolvido #5

A barra curva tem uma massa   ρ por unidade de comprimento. Determine o momento do peso da barra em relação ao ponto O .

Passo 1

Vamos aplicar o momento calculado de forma vetorial nesse problema.

Primeiro, vamos dividir a estrutura em duas barras: uma barra vertical de comprimento h e outra barra horizontal de comprimento d . A força peso de cada uma dessas barras será:

Onde, P → H é o peso da barra horizontal e P → V é o peso da barra vertical.

Perceba que o peso sempre aponta pra baixo, ou seja, na direção negativa de z .

Sendo assim, o peso da barra vertical não exerce momento com relação ao ponto O , já que a linha de ação do peso desta barra intercepta o ponto O .

Dessa forma, só a parte horizontal da barra exercerá momento. Essa parte tem o peso dado por:

P → = - ρ g d k ^

Passo 2

Agora vamos definir o vetor r → :

Pela figura, as componentes de r → são:

r → = x r , y r , z r = d 2 cos ⁡ 65 ° ; d 2 s e n   65 ° ; h

Passo 3

O momento será dado por:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^   r 1 r 2 r 3 P 1 P 2 P 3 = i ^ j ^ k ^   d 2 c o s ⁡ ( 65 ° ) d 2 s e n ( 65 ° ) h 0 0 - ρ g d

Então:

M → = d 2 s e n ( 65 ° ) h 0 - ρ g d i ^ - d 2 c o s ( 65 ° ) h 0 - ρ g d j ^ + d 2 c o s ⁡ ( 65 ° ) d 2 s e n ( 65 ° ) 0 0 k ^

Repare que o último determinante, o que está acompanhado de k ^ , é nulo. Calculando os outros:

M → = - ρ d 2 2 g s e n   65 ° i ^ + ( ρ g d 2 2 cos ⁡ 65 ° ) j ^

Arrumando isso e substituindo o valor do cosseno e do seno de 65 ° :

M → = ρ g d 2 2 ( - s e n   65 ° i ^ + cos ⁡ 65 ° j ^ )

M → = ρ g d 2 2 - 0,906 i ^ + 0,422 j ^   N ⋅ m  

Resposta

M → = ρ g d 2 2 - 0,906 i ^ + 0,422 j ^   N ⋅ m

Exercício Resolvido #6

A força de 24   N está aplicada ao ponto A do conjunto de suportes. Determine o momento dessa força em relação ao ponto O .

Passo 1

Vamos desenhar o sistema sem os corpos:

Passo 2

De acordo com a figura, podemos definir o vetor r → por:

r → = A - O = 0 ; 0,036 ; 0,018   m

Agora precisamos definir a força. Pela figura, a força faz um ângulo de 30 ° com o sentido negativo do eixo x .

Assim:

F → = 24 - cos ⁡ 30 ° i ^ + s e n   30 °   j ^ + 0 k ^

F → = - 20.78 i ^ + 12 j ^   N

Passo 3

Agora, pra calcular o momento, vamos usar o nosso velho amigo produto vetorial:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ 0 0,036 0,018 - 20.78 12 0

Desenvolvendo:

M → = 0,036 0,018 12 0 i ^ - 0 0,018 - 20.78 0 j ^ + 0 0,036 - 20.78 12 k ^

M → = - 0 . 216 i ^ - 0 . 374 j ^ + 0 . 748 k ^   N ⋅ m

Resposta

M → = - 0.216 i ^ - 0.374 j ^ + 0.748 k ^   N ⋅ m

Exercício Resolvido #7

Determine o momento da força F em relação ao ponto A .

Passo 1

Vamos primeiro escrever o vetor r → :

O vetor pode ser escrito como a diferença entre um ponto inicial e um final, sendo esses:

P i = A = ( a , 0,0 )

P f = ( 0 , b , 0 )

Assim:

r → = P → f - P i → = ( - a , b , 0 )

r → = - a i ^ + b j ^

Passo 2

E a força F → ? Pela figura, dá pra perceber que ela é paralela ao eixo z e aponta no sentido positivo do mesmo. Sendo assim:

F → = F k ^

Passo 3

Agora vamos escrever o nosso produto vetorial que representa o momento:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ - a b 0 0 0 F = b 0 0 F i ^ - - a 0 0 F j ^ + - a b 0 0 k ^

Vamos ter que:

M → = F b i ^ + F a j ^

M → = F ( b i ^ + a j ^ )

Resposta

M → = F ( b i ^ + a j ^ )

Exercício Resolvido #8

Determine o momento associado ao par de forças de 400   N aplicado à estrutura em T .

Passo 1

Nós vamos resolver essa questão da seguinte forma: calculando o momento de cada uma das forças e depois somando:

M → = M → 1 + M → 2

Passo 2

O momento é em relação ao ponto médio da placa. Desta forma, precisamos calcular os vetores posição r → O A e r → O B :

Então, para o vetor posição r → O A , vamos ter:

r → O A = O A → = - 0.25,0 , 0.45

E para o vetor posição r → O B , vamos ter:

r → O B = O B → = 0.25,0 , 0.45

Agora só falta definir as forças. Olhando pra figura, vemos que o ângulo que as forças fazem com o eixo y é de 15 ° . Assim:

F → 1 = F → A = 0 i ^ + 400 c o s 15 ° j ^ + 400 s e n 15 ° k ^

F → 1 = 386,37 j ^ + 103,53 k ^   N

F → 2 = F → B = 0 i ^ - 400 c o s 15 ° j ^ - 400 s e n 15 ° k ^

F → 2 = - 386,37 j ^ - 103,53 k ^   N

Passo 3

Assim, os momentos são calculados segundo os seguintes produtos vetoriais:

M → 1 = r → O A × F → 1 = i ^ j ^ k ^ - 0.25 0 0.45 0 386.37 103.53

Então, para M → 1 :

M → 1 = 0 0.45 386.37 103.53 i ^ - - 0.25 0.45 0 103.53 j ^ + - 0.25 0 0 386.37 k ^

M → 1 = - 173,87 i ^ + 25,89 j ^ - 96,59 k ^     N ⋅ m

Para M → 2 :

M → 2 = r → O B × F → 2 = i ^ j ^ k ^ 0.25 0 0.45 0 - 386.37 - 103.53

M → 2 = 0 0.45 - 386.37 - 103.53 i ^ - 0.25 0.45 0 - 103.53 j ^ + 0.25 0 0 - 386.37 k ^

M → 2 = 173,87 i ^ + 25,89 j ^ - 96,59 k ^     N ⋅ m

Portanto:

M → = M → 1 + M → 2 = - 173,87 i ^ + 25,89 j ^ - 96,59 k ^ + 173,87 i ^ + 25,89 j ^ - 96,59 k ^

M → = 0 i ^ + 51,78 j ^ - 193,18 k ^   N ⋅ m

Resposta

M → = 51,78 j ^ - 193,18 k ^

Exercício Resolvido #9

O tubo em ângulo reto O A B é visto abaixo. Substitua a força trativa de 750   N que o cabo exerce no ponto B por um sistema força binário no ponto O .

Passo 1

Bom, sabemos que a força atua no ponto B através da reta que une B C .

Além disso, como a força é trativa, o vetor da força terá o sentido indo de B para C .

Como já fizemos antes, o vetor que representa B C é dado por:

B C → = C - B

Observando a figura, vemos que:

C = x c ,   y c ,   z c = 0 ; 0.7 ; 1.2   m

Se liga: os eixos não estão colocados nos lugares de costume.

Já o ponto B é um pouquinho mais complicado pois vamos ter que trabalhar com seno e cosseno. Dá uma olhada: o comprimento B A faz um ângulo de 30 ° com a horizontal.

Sendo que a coordenada x disso daí é x = 1,6 m . Então:

B = 1.6 , - 0.8 s e n 30 ° , 0.8 cos ⁡ 30 ° = 1.6 , - 0.4,0.69   m

Passo 2

Assim:

B C = C - B = 0,0.7,1.2 - 1.6 , - 0.4,0.69 = ( - 1.6,1.1,0.51 )

Passo 3

Então:

n → B C = 1 ( - 1.6 2 + 1.1 2 + 0.51 2 . - 1.6,1.1,0.51

n → B C = ( - 0.80,0.55,0.25 )

Passo 4

Assim, a força é dada por:

F → = F n → B C = 750 - 0.80,0.55,0.25 = ( - 600,412.5,187.5 )

Passo 5

Vamos calcular o momento que essa força exerce em O . Usando a distância O C :

r → O C = C - O = 0,0.7,1.2 - 0,0 , 0 = 0,0.7,1.2

Assim, o momento será dado por:

M → = r → O C × F → = i ^ j ^ k ^ 0 0.7 1.2 - 600 412.5 187.5

M → = i ^ 0.7 1.2 412.5 187.5 - j ^ 0 1.2 - 600 187.5 + k ^ 0 0.7 - 600 412.5

M → = - 363.75 i ^ - 720 j ^ + 419 k ^   N ⋅ m

Passo 6

Beleza, calculando a força resultante e o momento da força em relação a O , você já tem o binário.

O sistema força binário é formado por:

F → = - 600,412.5,187.5   N

M → = - 363.75 i ^ - 720 j ^ + 419 k ^   N ⋅ m

Resposta

F → = - 600 i ^ + 412.5 j ^ + 187.5 k ^   N

M → = - 363.75 i ^ - 720 j ^ + 419 k ^   N ⋅ m

Exercício Resolvido #10

Ao levantar uma carga da posição B , desenvolve-se no cabo uma força trativa T de 24   k N . Calcule o momento que T produz em relação à base O da grua de construção.

Passo 1

Vamos desenhar o sistema sem os corpos:

Passo 2

Pra definir T , vamos antes definir o vetor normalizado que representa a direção A B . O ponto A tem as coordenadas:

A = 0,18,30

E o ponto B está em:

B = 6,13,0

Então, o vetor que representa a direção A B é:

A B → = B - A

A B → = 6,13,0 - 0,18,30 = 6 , - 5 , - 30

A B → = 6 i ^ - 5 j ^ - 30 k ^

Normalizando:

n → A B = 1 6 2 + 5 2 + 30 2 6 i ^ - 5 j ^ - 30 k ^

n → A B = 0.192 i ^ - 0.160 j ^ - 0.960 k ^

Para achar o vetor T → é só multiplicar o seu módulo pelo vetor unitário, assim:

T → = T . n → A B = 24 . 0.192 i ^ - 0.160 j ^ - 0.960 k ^

T → = 4.65 i ^ - 3.87 j ^ - 23.2 k ^   k N

Passo 3

Agora vamos achar o vetor r → :

r → = O B → = B - O

r → = 6,13,0 - 0,0 , 0 = 6,13,0

r → = 6 i ^ + 13 j ^ + 0 k ^   m

Passo 4

Assim:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ 6 13 0 4.65 - 3.87 - 23.2

Assim:

M → = i ^ 13 0 - 3.87 - 23.2 - j ^ 6 0 4.65 - 23.2 + k ^ 6 13 4.65 - 3.87

M → = - 302 i ^ + 139.4 j ^ - 83.6 k ^   k N ⋅ m

Resposta

M → = - 302 i ^ + 139.4 j ^ - 83.6 k ^   k N ⋅ m

Exercício Resolvido #11

Para reduzir o momento indesejável em relação ao eixo x , um mecânico usa sua mão esquerda para sustentar o cabo da chave no ponto B . a ) Que força direcionada para cima, F , deve ser exercida para que não haja momento em relação ao eixo x ? b )   Qual é, então, o momento resultante em relação a O ?

Passo 1

Podemos resolver esse problema dividindo-o em problemas bidimensionais.

A primeira coisa que precisamos descobrir é qual é a força necessária que deve ser aplicada em B para que não haja momento em relação a x . Ou seja:

M x = 0

Vamos desenhar o esquema das forças nesse caso, baseando-se no nosso enunciado é:

Pronto! Desenhamos o que nos interessa.

Perceba que cada força produzirá um momento em sentido contrário ao outro. Sendo que a força de 40   N produz um momento no sentido positivo do eixo x , pela regra da mão direita. E o força F , que queremos saber, produz um momento negativo:

40 0,3 - F 0,15 = 0         →         F = 80   N

Pronto, matamos metade da questão.

Passo 2

Agora queremos saber o momento resultante em relação a O .

Em primeiro lugar: não existe momento em relação ao eixo y , já que as forças são paralelas a esse eixo. Também vimos que o momento resultante em relação a x é nulo, então nos resta saber o momento em relação ao eixo z :

Pela figura, o sentido anti-horário é o positivo. Então, o módulo do momento em z é:

M z = 80 . 0,1 - 40 . 0,225 =

M z = - 1   N ⋅ m

Escrevendo de forma vetorial:

M → Z = - 1 k ^   N ⋅ m

Ou:

M → R e s u l t a n t e = M → Z = - 1 k ^   N ⋅ m

Resposta

a )   F = 80 N

b )   M → R e s u l t a n t e = - 1 k ^   N ⋅ m

Exercício Resolvido #12

Determine o momento da força de 400   N em relação ao ponto A .

  1. Usando a relação do produto vetorial.
  2. Projetando a força em seus componentes e achando os seus respectivos momentos.

Passo 1

De forma vetorial:

Primeiro, vamos definir o vetor r → A B .

A = 0,1 ; 0 ; 0,125   m

B = 0,050 ; 0,1 ; 0   m

r → A B = B - A = - 0,05 ; 0,1 ; - 0,125   m

Passo 2

Agora vamos definir a força:

F → = 400 cos ⁡ 60 ° j ^ - 400 s e n 60 ° k ^   N

F → = 200 j ^ - 346,4 k ^   N

Feito isso, podemos calcular o produto vetorial:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ - 0,05 0,1 - 0,125 0 200 - 346,4

Assim:

M → = 0,1 - 0,125 200 - 346,4 i ^ - - 0,05 - 0,125 0 - 346,4 j ^ + - 0,05 0,1 0 200 k ^

M → = - 9,64 i ^ - 17.32 j ^ - 10 k ^   N ⋅ m

Passo 3

Para fazer o próximo item, vamos primeiro calcular as componentes da força:

F x = 0

F y = 400 cos ⁡ 60 ° = 200   N

F z = - 400 s e n 60 ° = - 346,4   N

Passo 4

Vamos analisar cada eixo e ver quais forças exercem momento em cada um desses:

Eixo x :

A força de 400 s e n ( 60 ° ) faz um momento no sentido horário, já a outra componente um momento no sentido anti-horário. Tomando o sentido anti-horário como positivo, vamos ter que:

M x = 400 cos ⁡ 60 ° 0,125 - 400   s e n   60 ° 0,1 = - 9,64   N ⋅ m

Escrevendo vetorialmente:

M → x = - 9,64 i ^   N ⋅ m

Vamos checar se esse sentido é o certo? Bom, o momento é horário, já que é negativo:

Pela regra da mão direita, o sentido é realmente negativo em x .   Então escrevemos certo!!!

Passo 5

Eixo y :

Nesse caso, só a componente vertical realiza momento, pois a componente horizontal é paralela ao eixo y . Assim:

M y = 400 s e n   60 ° 0,05 = 17,32   N ⋅ m

E o sentido? Bom, dá para ver que o sentido de rotação, nesse caso, é o horário. Sendo assim, usando a regra da mão direita:

Assim, o sentido do vetor momento é contrário ao sentido positivo do eixo y , então:

M → y = - 17,32 j ^   N ⋅ m

Passo 6

Eixo z :

Em relação ao eixo z , só a força horizontal exerce momento, pois a força vertical é paralela ao eixo z . O momento é nesse sentido aqui:

Assim:

M Z = 400 cos ⁡ 60 ° 0,05 = 10   N ⋅ m

Para ver o sentido, vamos usar a regra da mão direita:

Assim, o vetor momento aponta no sentido negativo de z . Então:

M → z = - 10 k ^   N ⋅ m

E por fim:

M → = M → x + M → y + M → z

M → = - 9,64 i ^ - 17.32 j ^ - 10 k ^   N ⋅ m

Resposta

M → = - 9,64 i ^ - 17.32 j ^ - 10 k ^   N ⋅ m

Exercício Resolvido #13

Uma força vertical de 5   N é aplicada à manete do mecanismo de abertura de janelas quando a manivela B C está na horizontal. Determine a )   o momento da força em relação ao ponto A e b )   em relação à linha A B .

Passo 1

Vamos primeiro calcular o momento em relação ao ponto A . Para isso, como de costume, vamos desenhar o sistema sem esses corpos:

Perceba uma coisa: o trecho B C é paralelo ao eixo y e aponta para dentro da tela. Note também que a força F → é paralela ao eixo z e aponta no sentido negativo do mesmo:

F → = - 5 k ^

Vamos escrever o vetor r → A D .

Mas esse trecho é todo torto, concorda? De A até B ele é de um jeito, de B até C de outro e de C até D de outro.

Podemos, então, escrever r → A D como uma soma de três vetores posição:

r → A D = r → A B + r → B C + r → C D

Para encontrar as componentes de r → A B , apenas use cosseno e o seno pra calcular as componentes x e z :

r → A B = 0,05 cos ⁡ 30 ° i ^ + 0,05 s e n 30 ° k ^   m  

O trecho r → B C , pelo contrário, só tem uma componente positiva que aponta na direção positiva de y :

r → B C = 0,0 75 j ^   m

E o trecho C D você faz que nem o A B . Esse trecho possui a mesma inclinação que o trecho A B :

r → C D = 0,0 25 cos ⁡ 30 ° i ^ + 0,0 25 s e n 30 ° k ^   m

Somando os vetores:

r → A D = r → A B + r → B C + r → C D

r → A D = ( 0,05 cos ⁡ 30 ° i ^ + 0,05 s e n   30 ° k ^ ) + ( 0,0 75 j ^ ) + ( 0,0 25 cos ⁡ 30 ° i ^ + 0,0 25 s e n   30 ° k ^ )

Somando as componentes:

r → A D = 75 cos ⁡ 30 ° i ^ + 75 j ^ + 75 s e n 30 ° k ^  

r → A D = 0,065 i ^ + 0,075 j ^ + 0,0375 k ^   m

Passo 2

Tudo pronto para calcularmos o nosso momento:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ 0,065 0,075 0,0375 0 0 - 5

Expandindo:

M → = 0,075 0,0375 0 - 5 i ^ - 0,065 0,0375 0 - 5 j ^ + 0,065 0,075 0 0 k ^

Perceba que o último determinante dá zero. Calculando os outros:

M → = - 0,375 i ^ + 0,325 j ^   N ⋅ m

Passo 3

Show de bola. Agora queremos saber o valor desse momento em relação à linha A B .

O que isso significa? Ah, isso nada mais é do que a projeção do momento naquela direção: a direção A B .

Assim, calcularemos:

M → A B = M → ⋅ n → A B n → A B

Ou seja, o produto escalar entre o momento e o vetor normalizado da direção A B , que nos dá o módulo da projeção, vezes o próprio vetor n → A B   .

No final das contas, isso dada mais é do que o nosso produto:

M → A B = r → × F → ⋅ n → A B n → A B

Então, vamos ter que calcular esse vetor n → A B .

Passo 4

Não se preocupe, é fácil achar esse n → A B . Isso porque já calculamos antes o r → A B , então é só normalizar ele:

r → A B = 0,05 cos ⁡ 30 ° i ^ + 0,05 s e n   30 ° k ^    

r → A B = 0,0433 i ^ + 0,025 k ^   m

O módulo deste vetor é:

r → A B = ( 0,0433 ) 2 + ( 0,025 ) 2

r → A B = 0,05   m

Então, o vetor unitário vai ser:

n → A B = r → A B r → A B         →           n → A B =   1 0,05 . 0,0433 i ^ + 0,025 k ^

n → A B = 0,866 i ^ + 0,5 k ^

Passo 5

Show de bola! Já sabemos que M → = - 0,375 i ^ + 0,325 j ^   N ⋅ m , então:

M A B = M → ⋅ n → A B

M A B = - 0,375 i ^ + 0,325 j ^ ⋅ 0,866 i ^ + 0,5 k ^

Vamos escrever esse produto de uma maneira mais fácil de visualizar o que está acontecendo. Algumas componentes ali são nulas, e só podemos fazer o produto termo a termo e entre termos iguais:

M A B = - 0,375 i ^ + 0,325 j ^ + 0 k ^ ⋅ 0,866 i ^ + 0 j ^ + 0,5 k ^

M A B = - 0,375 ( 0,866 ) + 0 + 0

M A B = - 0,325   N ⋅ m

Agora que temos que sabemos que:

M → ⋅ n → A B = - 0,325   N ⋅ m

Podemos escrever este momento como um vetor multiplicando seu módulo pelo vetor unitário:

M → A B = M → ⋅ n → A B n → A B

M → A B = - 0,325 0,866 i ^ + 0,5 k ^

M → A B = - 0,2810 i ^ - 0,1625 k ^   N ⋅ m

Resposta

a )   M → = - 0,375 i ^ + 0,325 j ^   N ⋅ m

b )   M → A B = - 0,2810 i ^ - 0,1625 k ^   N ⋅ m

Exercícios de Livros Relacionados

39. Determine o momento resultante produzido pelas duas forças em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.
Um mecânico aplica a força horizontal de 100N perpendicularmente à chave de boca, como indicado na figura. Determine o momento dessa força em relação ao centro do parafuso em O . A linha de centro da
Determine a expressão vetorial para o momento M → O da força de 600N em relação ao ponto O . A especificação de projeto para o parafuso em O necessitaria deste resultado.
A chave especial mostrada é usada para parafusos de difícil acesso que tem uma especificação de baixo torque. Determine o momento da força de 40N aplicada no ponto A do cabo da chave em relação a O .
Uma força de 320N é aplicada à extremidade da chave, quando a polia dentada é presa a biela de um motor. A força é perpendicular ao plano contendo os pontos O , A e B . Determine o momento dessa força