Binário, Torçor e Resultante
Teoria
Introdução
Você já viu como calcular um sistema equivalente força-binário em duas dimensões. Além disso, você viu como achar a posição da resultante das forças através desse sistema.
Agora imagine que você tem uma placa retangular fininha, onde estão atuando todas essas forças aqui:
Como você faria para representar esse sistema de forças por um binário e uma força resultante no ponto ?
Parece mais complicado, não é? Confesso que é um pouquinho, meu amigo, mas estaremos juntos nessa!
Sistema força-binário equivalente em 3D
Quando a nossa intenção é representar um sistema de forças por uma resultante em um ponto, a primeira coisa que você tem que fazer é definir cada uma dessas forças. No nosso exemplo, temos as seguintes forças:
E:
A segunda coisa que você precisa fazer é calcular a resultante das forças:
Pra fazer isso, basta somar as componentes termo a termo:
Repare que todas as nossas forças tem o mesmo módulo e se anulam!
E o momento? Bom, como vimos, o binário equivalente representa a soma de todos os momentos em relação ao ponto de referência.
Então, o momento equivalente do nosso exemplo com relação ao ponto será:
Agora que são elas: qual a melhor maneira de calcular cada momentinho desses? Como vimos no capítulo anterior, é através do produto vetorial:
Sendo assim, você vai precisar definir cada um dos vetores . Mas isso é bem simples, pois esses são braços de alavanca, ou seja, a distância do ponto de aplicação da força em relação ao ponto de referência.
Então, no nosso exemplo, temos que calcular o momento que cada força faz cm relação ao ponto :
- Força : repare que a linha de ação da força passa pelo ponto , então o vetor é zero:
- Força : o vetor vai ser:
- Força : o vetor é:
- Força : o vetor é:
Então, o momento da força também é zero:
E o momento de com relação ao ponto será:
Então, o produto vetorial fica:
O produto vetorial fica assim:
Então, o momento resultante no ponto será a soma de cada um desses momentos que calculamos:
Observação: é claro que podemos calcular os momentos através do momento que cada componente exerce em relação a cada eixo, como vimos no capítulo anterior. Mas de uma forma geral, fazendo vetorialmente a gente tem mais chances de acertar.
Torçor e Resultante
Além do sistema equivalente força-binário, você também pode representar um sistema de forças por um torçor e uma força resultante.
Um torçor é quando o momento resultante é paralelo à força resultante. Um torçor é positivo se os vetores momento e força resultante apontam no mesmo sentido e negativo se eles apontam em sentidos opostos.
Como assim? Bem, imagine que temos uma resultante e um binário representados no ponto abaixo:
O momento faz um certo ângulo com a força, sendo que ambos pertencem ao mesmo plano vertical. Então, podemos decompor esse momento em uma componente paralela a e uma perpendicular:
Show de bola? E se você somar a esse sistema duas forças: e , separadas por uma distância ?
A primeira conclusão é que a resultante das forças continua a mesma (), afinal de contas é como se você tivesse somado e a alguma conta.
Então vamos ver:
Repare que as duas forças iniciais se anulam e sobra só aquela força afastada em unidades. Além disso, lembra que o binário é um vetor livre, que pode ser representado em qualquer ponto? Vamos deslocar a componente para cima da força que sobrou:
Uma dúvida que você pode ter é: quanto vale para que possamos excluir o e representar tudo com o torçor? Bom, perceba que exerce um momento em relação a esse ponto inicial agora, pois está afastado por uma distância .
Como o que fizemos foi uma manipulação, é de se esperar que não exista um momento “extra” por causa desse deslocamento. Sendo assim, o módulo do momento que faz em relação ao ponto inicial tem que ser
Ou, vetorialmente:
E o torçor? Como vimos, é esse amiguinho aqui:
Tá, mas e como a gente equaciona isso tudo? Bom, lembra do in��cio que:
Substituindo a nova relação que achamos para
Show? Basicamente, é o momento resultante do sistema e é o momento associado ao torçor (que tem a mesma direção que ). Você pode encontrar essa equação escrita assim também:
Resolvendo uma questão sobre torçor
E se o enunciado te pedir pra achar o torçor associado àquele sistema?
Bom, você vai seguir um caminho mais ou menos assim:
- Se o momento e a força resultante do sistema ainda não estiverem calculados, você vai calculá-los, seguindo tudo que usamos antes. Isso é o mesmo que calcular o sistema força-binário equivalente.
- De posse do vetor da força resultante, você vai escrevê-lo no formato abaixo:
- Você não sabe o módulo do torçor, , nem quem é o vetor . Mas você sabe qual é a direção de : A mesma de , representada pelo vetor
- Resolva o produto e depois some ao vetor Você vai chegar numa equação com as variáveis e .
- Agora é só igualar a equação com o vetor momento resultante do início:
Ou seja, o módulo do vetor força vezes um vetor direção . Como se faz isso? Bom, primeiro você calcula o módulo de
Sendo
De posse desse valor, você vai multiplicar e dividir o vetor força por ele:
Repare que isso não afeta nossa força. Mas você pode estar se perguntando: isso não vai alterar nada? Mas não é que vai! Olha só isso aqui, é a mesma coisa que tínhamos antes:
Só que, como é a própria força dividida pelo módulo, podemos dizer que esse é o vetor normalizado:
Aí chegamos ao que queríamos:
Show? Basicamente, calcule o módulo da força e divida cada componente dela pelo seu módulo. Esse vetor vai ser importante na hora de definir o torçor, já que ele tem a mesma direção da força resultante!
E você pode escrever o vetor de forma genérica, assim:
Você vai chegar a um sistema com variáveis. Aí é só resolver!!!
Observação muito importante:
Algumas vezes, o vetor do momento resultante será perpendicular ao vetor força resultante:
Nesse caso, não existirá uma componente do momento que seja paralela à força. O que isso significa?
Significa que não existirá um momento associado ao torçor. Ou seja, você até pode representar a força resultante a uma certa distância do ponto de referência, mas será apenas uma força, sem um momento associado:
Pra resolver esses problemas, você vai usar a equação:
Como você tem o valor da força resultante e do momento resultante, você consegue achar
E é basicamente isso, mas não se preocupe, vamos fazer alguns exercícios. Bora praticar?
Torçor e Resultante
Resolvendo uma questão sobre torçor
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 76,2/169
As direções de rotação dos eixos de entrada e de saída no redutor de engrenagens estão indicadas pelas setas curvadas tracejadas. Um torque de entrada (binário) de é aplicada ao eixo na direção da rotação. O eixo de saída fornece um torque de à máquina que ele controla (que não está mostrada). O eixo da máquina exerce um torque de reação igual e contrário no eixo de saída do redutor. Determine a resultante dos dois binários que atuam no redutor e calcule o cosseno diretor de em relação ao eixo
Passo 1
Temos dois binários na figura: um deles está na direção e outro na direção
Porém, não sabemos o sentido dos vetores.
Vamos usar, então, a regra da mão direita pra saber o sentido de cada um.
Passo 2
Usando a regra:
Perceba que o momento no eixo aponta no sentido negativo do eixo e que o momento no eixo aponta no sentido negativo desse seu eixo. Sendo assim:
Passo 3
Agora queremos achar o cosseno diretor de em relação ao eixo . Vamos antes desenhar o vetor no plano , visto de cima:
Beleza! Agora vamos calcular o módulo do vetor
Assim, o cosseno diretor é dado pelo cosseno do triângulo retângulo que o vetor faz com os eixos. Assim, podemos calcular ele assim:
Resposta
Exercício Resolvido #2
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 73,2/159
Determine o sistema força-binário em que seja equivalente às duas forças aplicadas ao eixo . é perpendicular a Nesse caso, determine as coordenadas no plano por onde passa resultante do sistema de forças.
Passo 1
Vamos primeiro calcular a resultante das forças. Veja que elas possuem uma característica em comum: ambas fazem um ângulo com o eixo
Podemos definir a força de assim:
Podemos definir a força de assim:
Assim, a força resultante é dada por:
Passo 2
Agora vamos calcular o momento que cada uma faz em relação ao ponto
Perceba que as distâncias são dadas apenas no eixo . Então, vamos fazer o produto vetorial para cada força.
Para a força , o vetor distância é:
Assim, o produto vetorial fica:
Para a força , o vetor distância é:
Então, o produto vetorial fica:
Assim, o momento total em relação ao ponto
Pronto, com a força resultante e esse momento, definimos o sistema força-binário equivalente em
Passo 3
Sendo:
Vamos ver se os vetores são perpendiculares. Para isso, vamos efetuar o produto escalar:
Como o produto é diferente de zero, eles não são perpendiculares.
Assim, podemos representar a resultante por um conjunto torçor.
Vamos escrever a força resultante na forma:
Assim:
Passo 4
Queremos agora achar o ponto onde a resultante pode ser representada, junto com o seu torçor:
Vamos usar, então, a relação:
é o momento do torçor e, portanto, tem a mesma direção que a força resultante:
Passo 5
Vamos desenvolver:
Passo 6
Resolvendo:
Lembrando que isso é igual a
Igualando termo a termo, vamos chegar nas seguintes equações:
Da primeira equação temos
Da segunda podemos tirar que
Substituindo na terceira
Substituindo esse valor de na equação que tem
Assim:
Resposta
Exercício Resolvido #3
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 72,2/152
O avião de passageiros do Prob.2/68 está redesenhado aqui com informações tridimensionais. Se a turbina falha subitamente, determine a resultante dos vetores de empuxo das três turbinas remanescentes, cada um tendo módulo de Especifique as coordenadas e do ponto pelo qual passa a linha de ação da resultante. Esta informação seria crítica para os critérios de projeto de desempenho sob falha de uma turbina.
Passo 1
O problema pode ser mais facilmente representado por:
Perceba que todas as forças têm coordenadas Sendo assim, a resultante também terá.
Além disso, veja que o eixo aponta para baixo.
Passo 2
Todas as forças são paralelas ao eixo . Assim, a resultante das forças é dada por:
Passo 3
Agora vamos calcular o momento que cada força exerce no centro do avião. Vamos começar pelas forças da direita:
Turbina 1:
O seu vetor posição é:
Então, vamos fazer o produto vetorial para calcular o momento:
Turbina 2:
O vetor posição é:
Assim, o momento será dado por:
Turbina 4:
O seu vetor posição é:
Perceba que agora o valor de é positivo!
Assim, o momento será dado por:
Passo 4
Pra calcular o momento resultante, vamos somar os três:
Passo 5
Agora vamos descobrir onde a resultante atua, ou seja, o ponto onde ela está aplicada.
Para isso, vamos definir um vetor posição genérico dado por:
Primeiro vamos ver se o momento resultante é perpendicular à força resultante ou não:
O produto termo a termo dá zero! Assim, podemos dizer que os vetores são perpendiculares.
Então vamos usar a igualdade:
Passo 6
Bora desenvolver o lado esquerdo da equação vista antes:
Desenvolvendo:
Show de bola. Agora só falta comparar com o momento resultante que já tínhamos calculado:
Comparando componente a componente, temos:
E:
Pronto!!!
Resposta
Exercício Resolvido #4
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 72,2/151
Represente por uma força única em , e por um momento a resultante do sistema de forças atuando em um conjunto de tubos.
Passo 1
Primeiro vamos determinar a força resultante
Eu sei que existem muitas forças ali o que torna o problema complicado... mas vamos começar descomplicando:
Olhe para as forças de da figura. Percebe que elas têm a mesma direção, mas sentidos contrários?
Isso quer dizer, meu amigo, que a soma delas dá zero. Então não vamos perder o nosso tempo escrevendo essas forças em termos de componente e
Passo 2
Então sobraram as forças de e
Todas elas são paralelas a eixos. Então, olhando para a figura e para o sentido de cada uma:
E é isso!!!
Passo 3
Agora vamos calcular a resultante dos momentos.
De novo em relação às forças de : elas formam um binário, assim o momento delas pode ser representado em qualquer ponto do sistema.
Vamos calcular o módulo do momento delas e definir a direção e sentido pela regra da mão direita:
Pela regra da mão direita:
O vetor pode ser escrito por:
Passo 4
Vamos agora analisar a força de : opa, a linha de ação da força passa em cima do ponto . Ou seja, o momento é nulo, pois não terá braço de alavanca:
Falta analisar a força de e a de .
Passo 5
Vamos continuar calculando os momentos e definindo os sentidos usando a regra da mão direita:
Primeiro a força de
Pela regra da mão direita:
Passo 6
Fazendo a mesma coisa para a força de
Portanto, o sentido é:
Passo 7
Computamos todos os momentos? Nãaaao, faltou o momento de que já estava aplicado ali como um binário, logo acima do ponto
Viu né? Usando a regra da mão direita nele:
Então o vetor é:
Assim, o momento resultante em relação ao ponto é dado por:
Passo 8
Então, podemos representar o sistema todo no ponto por uma força resultante e por um momento total, dados abaixo:
Resposta
Exercício Resolvido #5
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 72,2/152
Duas cargas direcionadas para cima são exercidas sobre uma pequena treliça tridimensional. Reduza estas duas cargas a um único sistema força-binário no ponto Mostre que é perpendicular a . Em seguida, determine o ponto no plano pelo qual passa a resultante.
Passo 1
Bom, primeiro vamos calcular a resultante das duas forças:
Se liga nisso: os eixos não estão nos lugares tradicionais. Nesse problema, o eixo vertical é o
Passo 2
Show de bola. Agora queremos reduzir o sistema a um sistema força-binário equivalente em . Para isso, agora vamos calcular o momento de cada força em relação a .
Veja, antes, disso, que as distâncias dos pontos de aplicação das forças até o ponto , são, respectivamente:
Passo 3
Assim, o momento de cada força será dado por:
Passo 4
Somando os momentos:
Pronto, podemos dizer que o sistema força-binário resultante em relação ao ponto pode ser definido por:
Agora vamos ver se a força resultante é perpendicular ao momento:
Como fazemos isso? Simples, lembra que o produto escalar entre vetores perpendiculares é nulo? Faremos esse produto então:
Escrevendo os vetores com todas as componentes (as que são zero também):
É isso! Então, os vetores são perpendiculares sim.
Passo 5
Beleza! Agora queremos saber a localização da resultante: para isso, queremos saber o vetor posição em relação ao ponto
Nós não sabemos quais são as suas componentes, mas sabemos que ela deve estar no plano , o plano horizontal desse problema. Como sabemos? Por duas fontes do enunciado:
Primeiro: todas as forças atuam em pontos do plano .
Segundo: o enunciado te pede pra achar a posição da resultante nesse plano.
Show? Então podemos escrever o vetor assim:
Queremos achar e
Passo 6
Para isso, vamos usar a igualdade:
Podemos usar essa igualdade sem envolver um torçor, porque a resultante é perpendicular ao momento.
Temos o momento resultante e a força resultante.
Assim:
Resolvendo o lado esquerdo:
Agora, igualando com o valor do momento resultante:
Perceba que temos que comparar com e com . Assim:
Assim, o ponto por onde passa a resultante é:
Resposta
Exercício Resolvido #6
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 77,2/174
Durante uma perfuração, o pequeno dispositivo robótico é submetido a uma força de no ponto , como mostrado. Substitua esta força por um sistema força-binário equivalente no ponto
Passo 1
Vamos começar a questão escrevendo a força de em termos de vetores e , ou seja, em componentes e
Primeiro perceba que a componente é a mais fácil de encontrar. Na figura dá pra ver que a força de faz um ângulo de com o eixo
Então, vamos ficar com isso aqui para a componente :
Passo 2
Para achar as componentes e , primeiro perceba que a componente no plano horizontal da força é dada por:
Agora precisamos decompor essa força novamente em relação ao ângulo de e, então, conseguiremos as componentes que queríamos:
Assim:
Passo 3
Agora vamos achar o vetor , ou seja, o vetor distância entre o ponto e a origem.
Vamos primeiro olhar a distância vertical: Fica claro que ela é dada por:
Pra achar as componentes e , basta percebermos que essas são projeções do segmento
Assim:
Show de bola? Estamos prontos pra usar:
Passo 4
Então:
Efetuando os determinantes:
Passo 5
Show de bola! Então podemos dizer que o sistema de forças pode ser representado por um sistema força-binário equivalente dado pelos vetores:
Resposta
Exercício Resolvido #7
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 72,2/153
Um computador de e uma impressora a laser de estão sobre o tampo horizontal de uma mesa. Determine a resultante do sistema dos dois pesos correspondentes e especifique as coordenadas do ponto , no plano , pelo qual passa a resultante. Os dois pesos atuam nos pontos
Passo 1
Beleza, pra calcular a resultante, perceba que ambas as forças são pesos, então apontam na direção negativa de
Então, a força peso resultante é:
Passo 2
Agora vamos calcular a resultante dos momentos em relação ao ponto
Para isso, vamos antes calcular o vetor de cada um:
Temos que é o vetor que vai da origem dos eixos até o ponto :
E temos que é o vetor que vai da origem dos eixos até o ponto :
Passo 3
Então:
E para achar , temos:
Então, o momento resultante é:
Passo 4
Para achar o ponto em que passa a resultante das duas forças, vamos ter que achar o vetor tal que:
Por que podemos usar essa relação ao invés da relação que apresenta o vetor momento do torçor? Porque ele é nulo, já que a resultante é perpendicular ao momento resultante:
Nós não sabemos as coordenadas que definem , mas sabemos que ela tem componentes apenas e porque, afinal de contas, todas as forças só atuam no plano .
Assim:
Vamos desenvolver o produto usando essas incógnitas.
Passo 5
Passo 6
Agora, comparando com o momento resultante que tínhamos achado antes:
Igualando componente a componente:
E:
Assim, o ponto onde passa a resultante é:
Resposta
Exercício Resolvido #8
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 77,2/173
Três binários são formadas por três pares de forças iguais e opostas. Determine a resultante dos três binários.
Passo 1
Beleza, vamos começar identificando cada binário.
O primeiro é esse aqui:
O segundo é:
E o terceiro é esse aqui:
Passo 2
Antes de começarmos a calcular, vamos lembrar de uma coisa: o momento dos binários é o mesmo em qualquer ponto do sistema.
E é por isso que podemos calcular o momento deles só multiplicando o valor da força pela distância entre eles:
É importante notar que essa distância é a distância perpendicular entre os vetores.
E pra achar a direção e o sentido? Bom, aí vamos usar a regra da mão direita. Bora lá.
Passo 3
Vamos começar pelo mais simples, o primeiro binário. Então, o valor do momento é dado por:
As forças de são paralelas ao eixo . Assim, pela regra da mão direita:
Então:
Passo 4
Vamos fazer agora o terceiro binário.
Nesse aqui temos uma complicação: não temos a distância perpendicular entre as forças. Precisamos usar um pouquinho de trigonometria:
Assim:
Então, a distância perpendicular entre as forças, em metros, é dada por:
E o momento do binário:
A figura não deixou claro o sentido positivo de , então vamos arbitrar esse aqui:
Agora, usando a regra da mão direita:
Então, o vetor pode ser dado por:
Passo 5
O segundo binário vai ser mais difícil um cadinho. Veja só: o binário não têm distâncias perpendiculares aos vetores e o plano de giro deles não é ortogonal.
Primeiro vamos lidar com as distâncias:
Assim, a distância perpendicular entre as forças vale:
Então, o momento tem módulo:
Antes de calcular, vamos determinar a direção.
Passo 6
A direção a gente determina pela regra da mão direita, mas o plano onde estão as forças não é ortogonal. O que sabemos, no entanto, é que o vetor momento vai ser perpendicular a esse plano:
Para saber o vetor direitinho, basta a gente perceber que o plano acima faz um ângulo de com o plano
Assim, podemos dizer que o vetor que aponta na direção do vetor momento é dado por:
Por fim, podemos escrever o momento como:
Fazendo as contas:
Passo 7
A soma dos momentos será, então:
Resposta
Exercício Resolvido #9
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 73,2/155
Ao apertar um parafuso cujo centro está no ponto uma pessoa exerce, com a mão direita, uma força de no manete da chave da chave da catraca. Além disso, com a mão esquerda exerce uma força de , como mostrado, para manter o soquete na cabeça do parafuso. Determine o sistema força-binário equivalente em Determine, então, o ponto no plano pelo qual passa a linha de ação da força resultante do torçor.
Passo 1
Primeiro vamos escrever a força resultante: perceba que ambas as forças estão indo no sentido negativo de seus respectivos eixos:
Calculando o módulo de , vamos ter que:
Com esses valores, podemos achar o vetor unitário na direção da força resultante:
Então:
Agora podemos escrever a força assim:
Passo 2
Para calcular , perceba que só uma das forças exerce momento em relação ao ponto A linha de ação da força de passa diretamente por , então não tem braço de alavanca.
Assim:
Onde:
Então, o momento será:
Passo 3
Agora vamos usar:
Queremos achar e . Mas sabemos que vetor distância está no plano , então:
Passo 4
Resolvendo :
E terá a mesma direção da força resultante, então:
Passo 5
Então, vamos substituir tudo que achamos:
Mas tudo isso é igual a , né? Então:
Então, vamos igualar os termos de mesma componente e obter as seguintes equações:
Da primeira equa�o temos que:
Da terceira equação temos:
Jogando o valor de que encontramos na segunda equação, vamos ficar com isso aqui:
Assim, o módulo de é dado por:
E para acharmos o vetor , é só multiplicarmos pelo vetor unitário:
E o ponto :
Resposta
Exercício Resolvido #10
FASETAC, lista de mecânica 1
Substitua as três forças que atuam na placa por um torçor. Especifique os vetores força e momento torçor, suas intensidades e o ponto onde sua linha de ação intercepta a placa.
Passo 1
Vamos considerar o ponto como a origem do sistema de coordenadas.
Calculando a força resultante, temos:
Podemos escrever a força assim:
Onde:
Assim:
Passo 2
Vamos calcular o momento que cada força exerce em relação ao ponto
O desta força é momento nulo, já que a sua linha de ação cruza o ponto
Já a outra força:
Ela possui o seguinte vetor posição:
Assim:
E a força:
Possui o vetor posição igual a :
Assim:
Passo 3
Assim:
É o sistema força-binário que representa o sistema. Vamos calcular o produto escalar entre os dois vetores acima pra ver se eles são perpendiculares:
Como é diferente de zero, os vetores não são perpendiculares.
Passo 4
Assim, queremos achar o ponto onde atua o torçor. Para isso, vamos usar a relação:
Onde tem a mesma direção que
Passo 5
Vamos desenvolver o produto
Assim, fazendo a soma disso com
Isso tudo igual ao
Passo 6
Assim, igualando termo a termo:
Da segunda equação, temos que:
Substituindo na primeira e na terceira equação:
Passo 7
Temos esse sistema aqui:
Multiplicando a primeira equação por
Somando com a segunda:
Substituindo isso na primeira equação:
Substituindo em:
Passo 8
Por fim, podemos dizer que o torçor pode ser escrito por:
E que o ponto em que a linha de ação do mesmo cruza o plano é:
Resposta
Exercício Resolvido #11
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 77,2/175
A ação combinada das três forças sobre a base em pode ser obtida estabelecendo sua resultante passando por Determine os módulos de e do momento associado.
Passo 1
Em outras palavras, o que o problema está te pedindo e o sistema força binário em
Vamos, primeiro, calcular a resultante das forças:
Temos uma força de que atua apenas na direção , uma força de que atua apenas na direção e uma de que atua no plano
Olhando o sentido positivo dos eixos na figura e escrevendo as forças em termos de vetores e:
Assim, o módulo de é dado por:
Passo 2
Agora vamos calcular o momento de cada uma das forças. Para isso, vamos ter que definir cada força e o vetor , ou seja, o vetor distância até
Vamos começar pela força de . Vamos chamá-la de :
O vetor é dado por:
A gente não precisa ficar subtraindo um ponto do outro sempre, já que é a origem. Basta a gente pegar o ponto de aplicação da força.
Perceba: tem um semicírculo ali no meio da figura, por isso que a distância em é:
Assim, o momento será dado por:
Passo 3
Agora vamos lidar com a força de . Ela é bem simples de ser definida, já que está apenas na direção
E o vetor Ele é bem parecido com o da força anterior, o que muda é a coordenada
Assim, o momento é dado por:
Calculando isso aí:
Passo 4
E por fim a última força, que pode ser definida facilmente também, essa por:
E o vetor posição? Esse será dado por:
Assim o momento será dado por:
Calculando:
Passo 5
Show agora é só somar todos os momentos:
Passo 6
Então podemos dizer que nosso sistema força-binário equivalente no ponto é representado pela força e pelos vetores abaixo:
Resposta
Exercício Resolvido #12
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 73,2/159
Determine o sistema força-binário em que seja equivalente às duas forças aplicadas ao eixo . é perpendicular a Nesse caso, determine as coordenadas no plano por onde passa resultante do sistema de forças.
Passo 1
Vamos primeiro calcular a resultante das forças. Veja que elas possuem uma característica em comum: ambas fazem um ângulo com o eixo
Podemos definir a força de assim:
Podemos definir a força de assim:
Assim, a força resultante é dada por:
Passo 2
Agora vamos calcular o momento que cada uma faz em relação ao ponto
Perceba que as distâncias são dadas apenas no eixo
Assim:
Assim:
Assim, o momento total em relação ao ponto
Pronto, com a força resultante e esse momento, definimos o sistema força-binário equivalente em
Passo 3
Sendo:
Vamos ver se os vetores são perpendiculares. Para isso, vamos efetuar o produto escalar:
Como o produto é diferente de zero, eles não são perpendiculares.
Assim, podemos representar a resultante por um conjunto torçor.
Vamos escrever a força resultante na forma:
Assim:
Passo 4
Queremos agora achar o ponto onde a resultante pode ser representada, junto com o seu torçor:
Vamos usar, então, a relação:
é o momento do torçor e , portanto, tem a mesma direção eu a força resultante:
Passo 5
Vamos desenvolver :
Passo 6
Desenvolvendo:
Lembrando que isso é igual a
Igualando termo a termo, vamos chegar nas seguintes equações:
Da última equação temos:
Jogando na segunda equação:
E na primeira equação:
Assim:
Resposta
Exercício Resolvido #13
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 72,2/152
Duas cargas direcionadas para cima são exercidas sobre uma pequena treliça tridimensional. Reduza estas duas cargas a um único sistema força-binário no ponto Mostre que é perpendicular a . Em seguida, determine o ponto no plano pelo qual passa a resultante.
Passo 1
Bom, primeiro vamos calcular a resultante das duas forças:
Se liga nisso: os eixos não estão nos lugares tradicionais. Nesse problema, o eixo vertical é o
Passo 2
Show de bola. Agora queremos reduzir o sistema a um sistema força-binário equivalente em . Para isso, agora vamos calcular o momento de cada força em relação a .
Veja, antes, disso, que as distâncias dos pontos de aplicação das forças até o ponto , são, respectivamente:
Passo 3
Assim, o momento de cada força será dado por:
Passo 4
Somando os momentos:
Pronto, podemos dizer que o sistema força-binário resultante em relação ao ponto pode ser definido por:
Agora vamos ver se a força resultante é perpendicular ao momento:
Como fazemos isso? Simples, lembra que o produto escalar entre vetores perpendiculares é nulo? Faremos esse produto então:
Escrevendo os vetores com todas as componentes ( as que são zero também):
É isso! Então, os vetores são perpendiculares sim.
Passo 5
Beleza. Agora queremos saber a localização da resultante: Para isso, queremos saber o vetor posição em relação ao ponto
Nós não sabemos quais são as suas componentes, mas sabemos que ela deve estar no plano , o plano horizontal desse problema. Como sabemos? Por duas fontes do enunciado:
Primeiro: todas as forças atuam em pontos do plano .
Segundo: O enunciado te pede pra achar a posição da resultante nesse plano.
Show? Então podemos escrever o vetor assim:
Queremos achar
Passo 6
Pra isso, vamos usar a igualdade:
Podemos usar essa igualdade, sem envolver um torçor, porque a resultante é perpendicular ao momento.
Temos o momento resultante e a força resultante.
Assim:
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Agora, comparando com o valor do momento resultante:
Perceba: temos que comparar com e com . Assim:
Assim, o ponto por onde passa a resultante é:
Resposta
Sistema força-binário:
A posição da resultante:
Exercício Resolvido #14
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 73,2/157
Substitua as duas forças atuando na moldura por um torçor. Escreva na forma vetorial o momento associado com o torçor e especifique as coordenadas do ponto no plano pelo qual passa a linha de ação do torçor. Observe que a força de módulo é paralela ao eixo
Passo 1
Primeiro, vamos escrevera resultante das forças:
Assim:
Escrevendo na forma
Então:
Assim:
E
Então:
Passo 2
Vamos agora calcular o momento resultante das forças em relação a Pra isso, vamos calcular o momento de cada força e depois somar.
Para a força
Como você pode ver, o vetor é paralelo ao vetor força, assim, o produto abaixo é nulo e por isso o momento é nulo:
Para a força
Assim, usando o produto vetorial:
Desenvolvendo:
Assim:
Passo 3
Show de bola. Agora vamos ver se dá para a gente escrever esse sistema como um sistema força-torçor. Para isso, vamos fazer o produto escalar entre a resultante e a resultante
Como é diferente de zero, podemos escrever o sistema como um sistema força-torçor:
Passo 4
Beleza, agora queremos escrever o momento associado ao torçor na forma vetorial e achar o ponto em que a linha de ação do torçor passa.
O que sabemos? Sabemos que o torçor tem a mesma direção que a força resultante. Por isso calculamos antes:
E sabemos que a soma desse momento mais o momento que a força resultante faz em relação ao ponto de origem é igual ao momento resultante em relação à origem:
Queremos achar e o vetor
Passo 5
Vamos antes desenvolver:
Desenvolvendo:
Passo 6
Então:
Voltando àquela igualdade:
Perceba que do lado esquerdo o termo que acompanha é nulo. Assim, do lado esquerdo também precisa ser:
Comparando os outros termos:
Substituindo o valor de
Assim, o valor de é:
Passo 7
Assim, podemos escrever o momento como:
E o ponto
Resposta
Exercício Resolvido #15
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 73,2/156
Substitua as duas forças atuando no mastro por um torçor. Escreva na forma vetorial o momento associado com o torçor e especifique as coordenadas do ponto no plano pelo qual passa a linha de ação do torçor.
Passo 1
Primeiro vamos escrever a força resultante, observando a figura. Veja que existe uma força apontando na direção positiva de e outra no sentido positivo de
Assim, a força pode ser escrita como:
Passo 2
Agora vamos calcular o momento resultante. Para a força em
Assim:
Para a força em
Assim:
Passo 3
Escrevendo o momento do torçor como:
Passo 4
Usando a relação:
Queremos achar o ponto
Desenvolvendo
Calculando:
Assim:
Isso tudo igual a
Passo 5
Comparando termo a termo:
Da última equação:
Somando a primeira e a segunda:
Substituindo na primeira equação:
Passo 6
Assim, o ponto onde a linha de ação da força resultante passa é:
E o momento pode ser escrito como:
Observe que o sinal de menos na frente indica que o sentido do vetor momento é contrário ao sentido da força resultante.