Teorema de Pappus

Este corpo é formado quando giramos esta área retangular por em torno do eixo :

Então, para acharmos a área superficial basta aplicarmos a nossa fórmula de área:

Precisamos calcular e o perímetro da figura.

O é o quanto o centróide do retângulo está afastado do eixo em que a figura gira, neste nosso caso é o eixo . O centróide de um retângulo fica no seu centro geométrico, então vamos ter que:

Então, será:

Agora vamos calcular o perímetro do retângulo que dá origem ao nosso corpo:

Então, vamos ter que:

Agora sim podemos calcular a área superficial do corpo:

Vamos calcular agora o volume deste corpo. Para isso, precisamos aplicar esta fórmula aqui:

Já sabemos :

Precisamos calcular a área do nosso retângulo:

Então, o volume do corpo é:

Primeiro precisamos saber a distância entre o centróide do semicírculo e o eixo . Para isso, vamos usar a seguinte fórmula:

O ângulo é de , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de sabendo que corresponde a radianos:

Agora sim podemos calcular a coordenada do centróide:

Então, vamos usar a nossa fórmula para calcular a área da superfície:

O é a distância do centróide até o eixo em torno do qual a figura gira que é o eixo . Repare que o é igual a :

E é o perímetro. O perímetro de um círculo completo, ou seja, com é calculado por . Então, o comprimento para é só fazermos uma regra de :

Então, o comprimento da nossa figura é:

Então, a área superficial é:

Como são dois setores com :

Primeiro vamos calcular a distância do centróide até o eixo

Para isso, vamos usar a fórmula de centróide da área de um setor circular:

O ângulo é de , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de sabendo que corresponde a radianos:

Agora sim podemos calcular a coordenada do centróide:

Esse vai ser nada mais nada menos que o nosso

E quando vale a nossa área?

Basta ver que esse setor circular tem uma abertura de , assim, a área dele vai da área de um círculo:

Agora basta a gente usar a formula:

Temos duas áreas: a do cilindro e a da esfera:

Para achar a área da superfície de um cilindro temos que usar a seguinte fórmula:

Onde é a altura do cilindro e é o raio.

Repare que o nosso cilindro é:

Então, a área superficial do nosso cilindro é:

Já para a esfera, vamos usar a nossa fórmula:

Já foi dito no enunciado que o centróide da curva é de , então:

E o perímetro também foi dado no enunciado e vale:

Com esses dados, podemos calcular a área da superfície da esfera:

Agora vamos calcular a área total:

Foi dito no enunciado que um galão cobre , então vamos fazer uma regra de três para achar o número de galões necessário para cobrir esta área que calculamos:

Então:

Mas repare que no enunciado foi dito que serão dadas duas camadas de tinta, ou seja, temos que dobrar a quantidade de galões:

Para achar o volume temos que usar a seguinte equação:

O é a distância do centro da figura até o eixo (que é o eixo em torno do qual a figura gira):

E a área ? Vai ser a soma das áreas do retângulo e do semicírculo:

• Retângulo:



• Semicírculo:

Então, a área total será:

Agora sim podemos calcular o volume do sólido:

Agora precisamos calcular a área superficial do sólido e para isso vamos usar esta fórmula aqui:

O é o perímetro da nossa figura:

Repare que o perímetro do semicírculo é:

E o perímetro do retângulo fica:

Então, o perímetro total da nossa figura é:

O continua o mesmo:

Então, a área superficial do sólido é:

A área que vamos usar pra gerar o volume é dada abaixo:

Mas veja: Ela pode ser dividida em duas regiões: A verde e a azul.

Sabe como podemos usar isso ao nosso favor? O volume do sólido vai ser a soma dos volumes gerados das duas regiões:

Vamos começar com a parte azul. Vamos usar:

A área é a área do retângulo:

E vai ser a distância do centro do retângulo até o eixo em torno do qual a figura gira, neste caso o eixo :

Então:

Assim:

Vamos passar isso para metros, pois temos que calcular o peso:

E a parte verde? Vai ser dada por:

Perceba que multiplicamos por dois, pois são dois triângulos verdes!!!

O vai ser a distância até o centróide do triângulo:

Perceba que, na posição que foi colocado, teremos que usar da altura nos cálculos:

E a área de um dos triângulos será:

Agora podemos calcular o volume do sólido gerado pela revolução dos triângulos:

Passando isso para , temos:

Agora é só somar:

Mas não é nossa resposta final, porque queremos saber o peso do sólido. Sabendo que a massa específica do alumínio é , temos que a massa do sólido será de:

Então, o peso será igual a:

Para achar o volume temos que usar a seguinte equação:

O é a distância do centro da figura até o eixo (que é o eixo em torno do qual a figura gira). Porém, não sabemos onde está localizado o centro desta figura aqui:

Mas perceba que a nossa figura é um quadrado do qual foi retirado um pedaço de círculo... Isso te lembra alguma coisa?

Se você pensou em corpos compostos acertou!!!

Então, vamos começar achando o centróide da nossa figura.

Para o quadrado, vamos ter a seguinte área:

Já a área do pedaço correspondente a de círculo é:

Não esqueça que a área do pedaço do círculo é negativa, pois estamos o retirando da área do quadrado.

Vamos achar a coordenada da centróide de cada uma das partes que compõe a nossa figura.

Para o quadrado vamos ter o seguinte:

Antes de achar o centróide do pedaço correspondente a de círculo devemos saber que a posição do centróide fica assim:

Então, o nosso pedaço de círculo fica assim:

Vamos montar a tabela para facilitar nossos cálculos:

A área total será a soma das duas áreas:

Agora vamos multiplicar cada área por sua respectiva coordenada :

E:

Então, nossa tabela completa fica assim:

A soma das expressões que acabamos de achar é:

Então, a coordenada é:

Repare que a coordenada é justamente o nosso !!!

Agora temos que calcular o volume do sólido:

Repare que a coordenada é justamente o nosso :

E a área também já calculamos:

O ângulo corresponde a quanto a figura gira em torno do eixo e no nosso caso é , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de sabendo que corresponde a radianos:

Agora sim podemos calcular o volume:

Podemos ajeitar mais ainda esta equação:

Para resolver esta questão precisamos encontrar o volume de concreto que será usado nesta represa e para isso vamos usar a nossa fórmula:

Vamos usar esta fórmula porque se você reparar a nossa figura não gira em torno do eixo, ela gira somente .

O é a distância do centróide da figura até o eixo em torno da qual ela gira. E é a área da figura.

Mas que figura é esta que estamos falando? É a figura que ao girarmos em tono do eixo vai dar origem a nossa represa, ou seja, é a seção transversal da represa.

Então, a nossa figura tem esse formato aqui:

O que isso te lembra? Repare que temos um quadrado e dele retiramos de círculo, ou seja, temos aqui um corpo composto de duas figuras.

Para

Vamos primeiro calcular a equação da senóide:

Onde é a equação da senóide, no modelo: . Vamos usar o ponto final:

Pela função, conseguimos perceber que . Assim:

Vamos começar achando o centróide desta figura. Para isso temos que posicionar o eixo em torno do qual a figura gira (vamos chamar de eixo ):

Repare na figura que foi dada no enunciado que o final da represa está distante do eixo!

Agora vamos achar a área de cada parte que compõe a nossa figura:

E o de círculo cujo raio é de é:

Não esqueça que temos que tratar a área de de círculo como negativa, pois estamos retirando esta área da área total do quadrado.

Então, a área total da figura é:

Lembra da nossa tabela? Vamos montá-la para facilitar as coisas:

Agora temos que achar a coordenada do centróide de cada parte que compõe a nossa figura. Vamos começar pelo quadrado:

Sabendo que o centróide do quadrado fica no seu centro geométrico, temos que:

E o centróide do de círculo se calcula com a seguinte fórmula:

Somando a isso os até chegar o eixo, vamos ter que:

Vamos colocar isso na nossa tabela:

Agora temos que multiplicar a área de cada parte pela sua respectiva coordenada :

E:

Agora precisamos somar esses dois valores:

Vamos colocar isso na nossa tabela também:

Beleza?

Agora é só aplicarmos a fórmula do centróide para corpos compostos:

Pronto, já achamos a distância do centróide da nossa figura até o eixo em torno da qual ela gira.

Perceba que neste processo achamos também a área total da nossa figura:

Então, já temos tudo para achar o volume de concreto da represa.

Para calcular o volume, vimos que vamos precisar usar esta fórmula aqui:

Onde esse ângulo corresponde ao ângulo que a figura gira em torno do eixo, ou seja, ele vale . Mas é necessário passar para radianos antes!

Para isso vamos fazer uma regra de sabendo que corresponde a radianos:

Agora sim podemos achar o volume:

Mas isso ainda não é a nossa resposta final!

Queremos saber a massa de concreto que será necessária para construir a represa, para isso temos que saber que:

Onde é a massa específica do concreto, a qual vale .

Então:

Podemos escrever assim: