Teoria

E aí, seja bem vindo ao Responde Aí!

Os teoremas de Pappus (ou Teoremas de Papo) nos ajudam a achar a área e o volume dos sólidos de revolução.

ó
ó

Quer entender melhor de onde vieram essa fórmulas, e aprender como usar os Teoremas de Pappus? Então é só ficar aqui nessa aula com a gente!

Sólidos de revolução

Existem certos corpos que podem ser obtidos pela rotação de uma figura em torno de um eixo. Esse é o caso de um toróide:

Toroide
Toroide

Se olharmos uma seção do toróide vemos um círculo, não é mesmo?

Formação do toroide
Formação do toroide

Perceba que se girarmos esse círculo em torno do eixo teremos formado um toroide!

Mas como a gente calcula a área de superfície e o volume desse toroide? Imagina só o trabalhão que deve ser aplicar uma integral nisso daí?!

Mas graças aos Teoremas de Pappus, a gente pode calcular a geometria de sólidos de revolução com facilidade.

Teorema de Pappus para a área superficial

Para achar a área superficial de um corpo que seja gerado através da rotação de uma figura em relação a um eixo que não intercepte esta figura, iremos usar esta fórmula aqui:

ó

Onde:

  • O é a distância do centroide da figura que vai girar até o eixo em torno do qual ela está girando;
  • O é o perímetro, ou contorno, da figura vai girar.

Se estivéssemos calculando a área da superfície do toroide, o seria:

Distancia eixo-centroide
Distancia eixo-centroide

E como é o perímetro, neste caso é só calcular o comprimento do círculo:

Beleza?

Então, lembre-se: você sempre vai calcular primeiro o centróide da figura, por meio dos métodos que já vimos, e depois calcular o seu perímetro.

Teorema de Pappus para o Volume

Se quisermos calcular o volume, vamos usar esta fórmula aqui:

ó

Onde

  • O continua sendo a distância do centróide da figura até o eixo em torno do qual a figura gira.
  • O é a área da região que vai gerar o sólido.

No nosso exemplo do toróide, o seria a área do círculo que ao girar em torno do eixo forma o sólido:

Área do círculo
Área do círculo

Teoremas de Pappus: Caso Geral

E se quisermos gerar um corpo rodando-o apenas ? Ou ? Pode?

Claro que sim! Nesse caso, usamos as fórmulas:

ó
ó

O é o ângulo que você gira sua figura para gerar o corpo, mas esse ângulo deve estar em radianos!!!

Viu só! Os Teoremas de Pappus são fáceis de aplicar e super úteis!

Mas pra garantir aquele 10, que tal ver um vídeo sobre o Teorema de Pappus?!

Teorema de Pappus para a área superficial

Teorema de Pappus para o Volume

Teoremas de Pappus: Caso Geral

Exercícios de Livros Relacionados