Nessa figura temos duas partes: um semicírculo e um furo de formato retangular. Então, vamos nomear as partes:

Agora temos que calcular a área de cada parte que compõe nossa figura. A parte é um semicírculo, então:

E a área da parte será:

Mas não se esqueça que como a área retangular é um furo, ela terá uma área negativa.

Nossa tabela fica assim, então:

Para achar o total é só subtrair a área do furo da área do semicírculo:

Perceba que a figura é simétrica em relação ao eixo , ou seja, a coordenada

Então só precisamos achar (e também foi o que a questão pediu!)

Aqui você precisa saber que o centróide de um semicírculo é dado pela seguinte fórmula (que você pode encontrar em qualquer tabela de centróide):

Então, substituindo , temos que:

E a coordenada de um retângulo nós sabemos que fica na metade de sua altura, então:

Vamos colocar esses valores na nossa tabela:

Agora temos que multiplicar cada coordenada pela sua respectiva área:

E:

Colocando isso na tabela, temos:

E o total é só somarmos os dois resultados, lembrando que é negativo!

Então:

Agora é só calcularmos a coordenada da nossa figura:

O trapézio pode ser dividido em um retângulo e em um triângulo:

de área:

E um triângulo de área:

Vamos calcular agora a área de cada uma dessas partes. O retângulo tem área igual a:

E o triângulo tem área de:

Como não temos nenhum furo, nenhuma das áreas é negativa.

Vamos preencher a nossa tabela:

Assim, a área total será a soma das duas áreas:

Agora vamos calcular as coordenadas e do centróide de cada uma das partes que compõe o trapézio.

Vamos começar com o retângulo:

Sabemos que o centróide do retângulo está no seu centro geométrico, ou seja, está na metade da sua altura e está na metade do seu comprimento:

E:

Já o triângulo tem as coordenadas e do centróide à da base e da altura, respectivamente:

Então, no nosso caso, a coordenada será:

Repare que o eixo está afastado do triângulo e nossa coordenada sempre deve ser com relação ao eixo:

E a coordenada fica:

Vamos preencher nossa tabela agora:

Agora vamos multiplicar cada área por sua respectiva coordenada e . Vamos começar pelo retângulo:

E:

E para o triângulo vamos ter que:

E:

Vamos preencher a nossa tabela com esses valores que achamos:

Vamos somar os valores que achamos:

E:

Então, nossa tabela fica:

Então, a coordenada será:

E a coordenada do trapézio é:

A nossa figura tem duas partes: um triângulo e um furo no formato de um semicírculo. Então, vamos começar pelo triângulo:

A área do triângulo é dada por:

Nossa segunda parte é um semicírculo:

E sua área é dada por:

Não esqueça que a área do semicírculo é negativa, pois ele é um furo. Então, a nossa tabela fica assim:

A área total será a soma das duas áreas:

Agora vamos calcular a coordenada do centróide de cada parte que compõe nossa figura. Vamos começar com o triângulo, mas para isso você tem que lembrar que a coordenada do centróide de um triângulo fica a da altura:

Então:

E o centróide do semicírculo é calculado pela seguinte fórmula:

Vamos colocar isso na nossa tabela:

Agora vamos multiplicar cada área por sua respectiva coordenada e . Vamos começar pelo triângulo:

E o semicírculo fica assim:

Então, a nossa tabela fica:

Vamos somar os valores que achamos:

Agora é só aplicar a fórmula para acharmos a coordenada do centróide da nossa figura:

Vamos separar as partes que compõe a nossa figura:

Vamos primeiro calcular a massa de uma das barras inclinadas. Perceba que elas têm um comprimento () de e que a massa de cada uma é dada por:

E a posição do centro dessas barras? Vamos desenhar um triângulo:

A distância vertical do centro:

Repare que a outra barra inclinada terá a mesma distância para o seu centro:

E a barra vertical de baixo? A sua massa será de:

E a posição do seu centro de massa está na metade do seu comprimento:

Repare que o sinal negativo é porque a coordenada está posicionada na parte negativa do eixo , ou seja, abaixo do zero.

Agora basta a gente usar a nossa fórmula de centro de massa para achar a coordenada :

Assim:

Show de bola? Percebeu que não convertemos para ? Isso porque todas as dimensões são dadas em !!!

Vamos começar separando as figuras que compõem a parede e numerá-las:

Agora vamos achar a área de cada uma dessas partes:

• Parte 1: é um retângulo, então vamos ter que:
• Parte 2: temos agora um quadrado, então:
• Parte 3: é um triângulo, então:
• Parte 4: temos outro triângulo:

Não esqueça que a área dos dois triângulos é negativa, pois estas duas figuras não fazem parte da parede, só criamos ela para facilitar nossos cálculos. Então, a nossa tabela fica assim:



A área total será a soma das quatro áreas:

Passo 2

Agora vamos calcular as coordenadas e do centróide de cada parte que compõe nossa figura. Não se esqueça de que temos que calcular tudo com relação ao eixo que foi dado no enunciado!

• Parte 1:



Então:

• Parte 2:



Então:

Para as próximas partes, não podemos esquecer como se calcula as coordenadas do centróide de um triângulo:



• Parte 3:



Então:

• Parte 4:



Então:

Vamos colocar isso na nossa tabela:



Passo 3

Agora vamos multiplicar cada área por sua respectiva coordenadas e :

• Parte 1:
• Parte 2:
• Parte 3:
• Parte 4:

Então, a nossa tabela fica assim:

Agora vamos somar os valores que achamos:

E:

Agora é só aplicar a fórmula para acharmos as coordenadas e do centróide da nossa figura.

Então, para vamos ter que:

E para vamos ter que:

O volume de uma esfera é dado por:

Como estamos lidando com a metade de uma esfera de raio , o volume será dado por:

E seu centróide está localizado a uma distância do centro dada por:

Essa fórmula você pode encontrar em qualquer tabela!

Perceba que foi retirada uma semiesfera menor de raio da semiesfera maior. O volume desta semiesfera menor é:

Repare que este volume será negativo, pois estamos retirando a semiesfera menor da semiesfera maior.

E o seu centróide tem a seguinte coordenada :

Vamos montar a nossa tabela:

Precisamos terminar de preencher a tabela.

Vamos calcular o somatório dos volumes:

Nossa tabela está assim:

Temos que multiplicar cada volume pela sua respectiva coordenada :

E:

E o somatório destes dois valores que achamos é:

Então, a nossa tabela ficou:

Agora é só aplicarmos nossa fórmula:

Vamos começar definindo cada parte que compõe este corpo. Vamos começar pelo paralelepípedo:

O seu volume será:

Vamos analisar o cilindro maior:

O volume do cilindro é calculado através da seguinte fórmula:

Onde é o seu comprimento.

Então, o volume do nosso cilindro será:

A nossa próxima parte é o cilindro mais fininho:

Perceba que para achar o comprimento deste cilindro temos que descontar um pedaço correspondente ao raio da esfera. Então, o seu volume será:

Vamos agora para a nossa quarta e última parte que é a esfera:

O volume da esfera se calcula assim:

Então, o volume da nossa esfera será:

O próximo passo é calcularmos as coordenadas , e do centróide de cada parte que compõe a figura.

Vamos começar pelo paralelepípedo, sabendo que o seu centróide fica no seu centro geométrico:

Repare que o centróide está bem na origem dos eixos, então as suas coordenadas são:

Beleza?

Agora vamos ver o cilindro maior:

As coordenadas de seu centróide são:

E o cilindro menor fica:

E as coordenadas do centróide deste cilindro são:

E por último temos a esfera:

O centróide da esfera também está localizado em seu centro geométrico, então as suas coordenadas são:

Vamos montar a nossa tabela para nos organizarmos:

Repare que o volume total é:

Agora temos que multiplicar o volume de cada parte por suas respectivas coordenadas , e do centróide.

• Retângulo:
• Cilindro maior:
• Cilindro menor:
• Esfera:

Nossa tabela ficou assim:

Os totais da tabela são calculados assim:

Temos também:

E por último:

Beleza?

Vamos calcular agora as coordenadas do centróide do sólido como um todo. Para isso, vamos usar as nossas fórmulas.

Vamos começar pela coordenada :

Agora a coordenada :

E por último a coordenada

Vamos começar analisando o pedaço vazio. Qual é a sua área?

Podemos ver na figura que o seu comprimento é de . Mas e a sua largura?

Pela figura podemos ver que alguém pegou o cilindro e girou para cima em torno do eixo . Então, podemos achar a largura do pedaço vazio calculando o comprimento do círculo:

O comprimento de um círculo é calculado por:

No nosso caso, o comprimento do círculo que forma o cilindro é:

Mas isso é para um círculo inteiro, ou seja, com . Mas o comprimento que queremos corresponde a um ângulo de . Então, vamos fazer uma regra de três:

Então:

Beleza?

Então, o pedaço vazi0 com formato de retângulo tem as seguintes medidas:

Agora sim podemos calcular a sua área:

Agora temos que achar as coordenadas do centróide do furo retangular. Vamos começar pela coordenada :

Repare que o centróide do retângulo está na metade do seu comprimento, por isso usamos:

Agora vamos entender o que acontece para acharmos as outras coordenadas do centróide:

Para calcular e vamos formar um triângulo retângulo, assim:

Repare que o ângulo de é a metade de !

Então, vamos ter que é:

Repare que o sinal de menos é porque esta coordenada está posicionada no lado negativo do eixo .

E é: