Método da integração
Produzido por Pablo RicardoTeoria
Equações e reações
Fala aí, galerinha marota! Hoje a gente vai bater um papo sobre o tema vigas e eixos estaticamente indeterminados. Quando nós temos uma viga ou um eixo estaticamente indeterminado isso significa que não é possível achar todas as reações apenas pelas equações da estática, temos um sistema hiperestático, como o mostrado abaixo.
O carregamento mostrado na figura da esquerda possui as reações mostradas na figura da direita. É possível ver que existem 4 reações (duas forças no eixo vertical, uma no eixo horizontal e um momento devido ao engaste).
Mas aí que está a questão, se a gente fosse resolver esse problema apenas pelas equações da estática nós teríamos apenas 3 equações:
- Somatório das forças em
- Somatório das forças em
- Somatório dos momentos (aqui vamos fazer em relação ao ponto de engaste e considerar o sentido anti-horário positivo)
Perceba que se nós temos 4 incógnitas e 3 equações então o nosso sistema não pode ser determinado utilizando apenas essas três equações. Como vamos proceder então?
Vamos resolver isso utilizando a linha elástica!
Relembrando a linha elástica
Nós vamos poder resolver esse sistema com a ajuda da nossa amiga linha elástica.
Caso você já tenha esquecido da nossa miguxa, nós podemos calcular a linha elástica como:
Onde:
- é o coeficiente de elasticidade.
- é o momento de inércia.
- é a deflexão da linha elástica.
- a equação do momento fletor.
Agora vamos aprender como o método realmente funciona e é bem simples! O que vamos fazer é utilizar a equação da linha elástica para ter mais uma equação e com isso poder resolver o sistema. Na teoria é bem simples, na prática pode ser um pouco complicado, mas vamos fazer juntos com calma.
Cálculo do momento fletor
Que tal pegar o nosso exemplo inicial novamente? A gente tinha o seguinte:
Como a equação da linha elástica depende da equação do momento fletor, vamos achar essa equação. Para isso vamos realizar um corte na viga de forma a obtermos a força cortante e o momento fletor .
Pessoal, a gente quer a equação do momento fletor, correto? Então a gente precisa utilizar apenas a equação do somatório dos momentos. Além disso, a força cortante não nos interessa então para facilitar o cálculo vamos aplicar o somatório dos momentos em relação à extremidade direita da seção.
Abaixo vou mostrar apenas as forças que de fato causam momento, também está representado a força concentrada relativa ao carregamento uniforme:
Vamos considerar o sentido anti-horário positivo e teremos
Isolando o momento fletor vamos ter a seguinte equação.
obs: talvez você esteja mais acostumado a utilizar com relação ao lado esquerdo, se for o caso pode fazer assim o resultado não vai mudar – o importante é colocar a força cortante em função das outras forças.
Cálculo da linha elástica
Essa é a parte mais importante e é só substituir a equação do momento na equação da linha elástica.
Galera, não se assustem com essa equação diferencial!
Sério, essa equação não é muito difícil de resolver não. Presta atenção, a gente vai simplesmente integrar dos dois lados em função de :
Lembrando que o termo é, na grande maioria das vezes, uma constante, logo nós vamos ter
E agora vamos integrar novamente
Aí agora você olha para isso e fala assim “não acredito ganhei uma equação, mas ela veio com mais duas incógnitas ( e ), não adiantou de nada!! Que ódioooo”
Mas calma, jovem, eu vou te contar um segredo. Existem as condições de contorno, elas vão salvar a pátria. Se liga no próximo passo como isso vai acontecer
Encontrando as condições de contorno
Para que a gente possa resolver a equação da linha elástica a gente precisa das condições de contorno. Essas condições consistem basicamente em saber quando a deflexão e quando a angulação são iguais a zero.
Além disso é importante lembrar que a angulação é igual à primeira derivada de
Resumindo as equações de contorno são as seguintes:
Olhando o nosso problema nós vamos ter que no lado esquerdo temos um engaste e no lado direito uma rótula:
Dessa forma temos três equações de contorno que refletem a linha elástica, representada abaixo:
Demorou!! Mas a gente fez isso para que mesmo? Se lembra da equação da linha elástica?
Como nós temos 3 pontos para substituir nessa equação a gente vai conseguir achar , e não vamos achar ou diretamente, mas vamos achar uma equação que relacione e . Essa equação vai ser a nossa 4ª equação (juntamente com as três da estática) que utilizaremos para achar todas as reações!!
Realizando a substituição
Primeiro vamos utilizar a equação da inclinação.
lembra que ? Então vamos ter:
Substituindo e
Agora vamos substituir na equação da deflexão.
Substituindo e
E finalmente substituindo e
Galera, percebam que a gente fez isso tudo só para achar mais uma equação que relaciona duas incógnitas lá do começo. Agora para achar as reações a gente tem que utilizar as 3 equações da estática.
Achando as reações
As três equações que a gente tinha lá do começo eram:
- Somatório das forças em
- Somatório das forças em
- Somatório dos momentos (aqui vamos fazer em relação ao ponto de engaste e considerar a sentido anti-horário positivo)
- Agora a gente tem a quarta equação!
Aí é só resolver o sistema:
Uhullll!!!! Achamos o nosso resultado! Viram que com o auxílio da linha elástica é possível achar as reações mesmo em vigas estaticamente indeterminadas? Claro que sim né!