Teoria

Equações e reações

Fala aí, galerinha marota! Hoje a gente vai bater um papo sobre o tema vigas e eixos estaticamente indeterminados. Quando nós temos uma viga ou um eixo estaticamente indeterminado isso significa que não é possível achar todas as reações apenas pelas equações da estática, temos um sistema hiperestático, como o mostrado abaixo.

O carregamento mostrado na figura da esquerda possui as reações mostradas na figura da direita. É possível ver que existem 4 reações (duas forças no eixo vertical, uma no eixo horizontal e um momento devido ao engaste).

Mas aí que está a questão, se a gente fosse resolver esse problema apenas pelas equações da estática nós teríamos apenas 3 equações:

  1. Somatório das forças em y
  2. ∑ F y = 0

    A y + B y - 100 × 7 = 0

  3. Somatório das forças em x
  4. ∑ F x = 0

    A x = 0

  5. Somatório dos momentos (aqui vamos fazer em relação ao ponto de engaste e considerar o sentido anti-horário positivo)

∑ M = 0

M 0 - 100 × 7 × 7 2 + ( B y × 7 ) = 0

Perceba que se nós temos 4 incógnitas e 3 equações então o nosso sistema não pode ser determinado utilizando apenas essas três equações. Como vamos proceder então?

Vamos resolver isso utilizando a linha elástica!

Relembrando a linha elástica

Nós vamos poder resolver esse sistema com a ajuda da nossa amiga linha elástica.

Caso você já tenha esquecido da nossa miguxa, nós podemos calcular a linha elástica como:

E I d 2 y d x 2 = M

Onde:

  • E é o coeficiente de elasticidade.
  • I é o momento de inércia.
  • y é a deflexão da linha elástica.
  • M a equação do momento fletor.

Agora vamos aprender como o método realmente funciona e é bem simples! O que vamos fazer é utilizar a equação da linha elástica para ter mais uma equação e com isso poder resolver o sistema. Na teoria é bem simples, na prática pode ser um pouco complicado, mas vamos fazer juntos com calma.

Cálculo do momento fletor

Que tal pegar o nosso exemplo inicial novamente? A gente tinha o seguinte:

Como a equação da linha elástica depende da equação do momento fletor, vamos achar essa equação. Para isso vamos realizar um corte na viga de forma a obtermos a força cortante V e o momento fletor M .

Pessoal, a gente quer a equação do momento fletor, correto? Então a gente precisa utilizar apenas a equação do somatório dos momentos. Além disso, a força cortante não nos interessa então para facilitar o cálculo vamos aplicar o somatório dos momentos em relação à extremidade direita da seção.

∑ M = 0

Abaixo vou mostrar apenas as forças que de fato causam momento, também está representado a força concentrada relativa ao carregamento uniforme:

Vamos considerar o sentido anti-horário positivo e teremos

M 0 - A y   .     x + 100   .     x   .     x 2 + M = 0

Isolando o momento fletor vamos ter a seguinte equação.

M = - 50 x 2 + A y x - M 0

obs: talvez você esteja mais acostumado a utilizar com relação ao lado esquerdo, se for o caso pode fazer assim o resultado não vai mudar – o importante é colocar a força cortante em função das outras forças.

Cálculo da linha elástica

Essa é a parte mais importante e é só substituir a equação do momento na equação da linha elástica.

E I d 2 y d x 2 = M

E I d 2 y d x 2 = - 50 x 2 + A y x - M 0

Galera, não se assustem com essa equação diferencial!

Sério, essa equação não é muito difícil de resolver não. Presta atenção, a gente vai simplesmente integrar dos dois lados em função de x :

∫ E I d 2 y d x 2 d x = ∫ - 50 x 2 + A y x - M 0   d x

Lembrando que o termo E I é, na grande maioria das vezes, uma constante, logo nós vamos ter

E I d y d x = - 50 3 x 3 + A y 2 x 2 - M 0 x + C 1

E agora vamos integrar novamente

∫ E I d y d x d x = ∫ - 50 3 x 3 + A y 2 x 2 - M 0 x + C 1   d x

E I . y = - 50 12 x 4 + A y 6 x 3 - M 0 2 x 2 + C 1 x + C 2

Aí agora você olha para isso e fala assim “não acredito ganhei uma equação, mas ela veio com mais duas incógnitas ( C 1 e C 2 ), não adiantou de nada!! Que ódioooo”

Mas calma, jovem, eu vou te contar um segredo. Existem as condições de contorno, elas vão salvar a pátria. Se liga no próximo passo como isso vai acontecer

Encontrando as condições de contorno

Para que a gente possa resolver a equação da linha elástica a gente precisa das condições de contorno. Essas condições consistem basicamente em saber quando a deflexão y e quando a angulação θ são iguais a zero.

Além disso é importante lembrar que a angulação θ é igual à primeira derivada de y

θ = d y d x

Resumindo as equações de contorno são as seguintes:

Olhando o nosso problema nós vamos ter que no lado esquerdo temos um engaste e no lado direito uma rótula:

Dessa forma temos três equações de contorno que refletem a linha elástica, representada abaixo:

y = 0 → e m   x = 0

θ = 0 →   e m   x = 0

y = 0 → e m   x = 7   m

Demorou!! Mas a gente fez isso para que mesmo? Se lembra da equação da linha elástica?

E I . y = - 50 12 x 4 + A y 6 x 3 - M 0 2 x 2 + C 1 x + C 2

Como nós temos 3 pontos para substituir nessa equação a gente vai conseguir achar C 1 , C 2 e não vamos achar A y ou M 0 diretamente, mas vamos achar uma equação que relacione A y e M 0 . Essa equação vai ser a nossa 4ª equação (juntamente com as três da estática) que utilizaremos para achar todas as reações!!

Realizando a substituição

Primeiro vamos utilizar a equação da inclinação.

E I d y d x = - 50 3 x 3 + A y 2 x 2 - M 0 x + C 1

lembra que θ = d y / d x ? Então vamos ter:

E I . θ = - 50 3 x 3 + A y 2 x 2 - M 0 x + C 1

Substituindo x = 0 e θ = 0

E I . 0 = - 50 3 0 3 + A y 2 0 2 - M 0 . 0 + C 1

C 1 = 0

Agora vamos substituir na equação da deflexão.

E I . y = - 50 12 x 4 + A y 6 x 3 - M 0 2 x 2 + C 1 x + C 2

Substituindo x = 0 e y = 0

E I . 0 = - 50 12 0 4 + A y 6 0 3 - M 0 2 0 2 + C 1 . 0 + C 2

C 2 = 0

E finalmente substituindo x = 7 e y = 0

E I . 0 = - 50 12 7 4 + A y 6 7 3 - M 0 2 7 2 + C 1 . 7 + C 2

0 = - 50 12 7 4 + A y 6 7 3 - M 0 2 7 2

0 = - 50 12 49 + A y 6 7 - M 0 2

0 = - 204,16 + A y 6 7 - M 0 2

A y = 3 M 0 7 + 175

Galera, percebam que a gente fez isso tudo só para achar mais uma equação que relaciona duas incógnitas lá do começo. Agora para achar as reações a gente tem que utilizar as 3 equações da estática.

Achando as reações

As três equações que a gente tinha lá do começo eram:

  1. Somatório das forças em y
  2. ∑ F y = 0

    A y + B y = 100 × 7

  3. Somatório das forças em x
  4. ∑ F x = 0

    A x = 0

  5. Somatório dos momentos (aqui vamos fazer em relação ao ponto de engaste e considerar a sentido anti-horário positivo)
  6. ∑ M = 0

    M 0 - 100 × 7 × 7 2 + ( B y × 7 ) = 0

  7. Agora a gente tem a quarta equação!

A y = 3 M 0 7 + 175

Aí é só resolver o sistema:

M 0 = 612,5   k N . m

B y = 262,5   k N

A x = 0

A y = 437,5   k N

Uhullll!!!! Achamos o nosso resultado! Viram que com o auxílio da linha elástica é possível achar as reações mesmo em vigas estaticamente indeterminadas? Claro que sim né!

Cálculo do momento fletor

Cálculo da linha elástica

Encontrando as condições de contorno

Realizando a substituição

Achando as reações

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