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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 7ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 16

11- Determine as coordenadas x e y do centroide da área trapezoidal.

Passo 1

Pelas limitações que temos em cima e embaixo, é mais vantajoso se fizermos várias linhas horizontais em cobrindo a região toda para que possamos encontrar o centroide desse trapézio.

A área pode ser calculada normalmente como a área de qualquer trapézio.

A t r a p e z i o = B a s e   m a i o r + B a s e   m e n o r × h 2

A = ( a + b ) h 2

Passo 2

A linha horizontal terá como comprimento a distância indo da reta diagonal até a reta igual a x = 0 .

Essa reta passa pelos pontos ( b , 0 ) e ( a , h ) , e como a equação geral da uma reta é y = m x + c sua expressão será:

No ponto ( a , h ) :

h = m a + c

No ponto ( b , 0 ) :

0 = m b + c → m = - c b

Substituindo a segunda equação na primeira teremos:

h = - c b a + c

Isolando c :

h = c - a b + 1

h = c b - a b

c = b h b - a

Substituindo c em m na reta y = m x + b nós vamos ter:

y = - b h b - a b x + b h b - a

y = - h b - a x + b h b - a

Porém como queremos o valor de x para encontrar o comprimento da linha horizontal vamos isolar-lo:

b - a y = - h x + b h

b - a h y = - x + b

- x = b - a h y - b

x = a - b h y + b

Logo o comprimento da linha será:

L = a - b h y + b

E como seu comprimento vale d y ,logo sua área valerá:

d A = a - b h   y + b d y

Por ser uma linha horizontal seu y médio, valerá o próprio y . Pois ele não tem altura o suficiente para se fazer uma média.

E seu x médio será:

x m = a - b h y + b + 0 2

Passo 3

Para encontrar x - , precisamos fazer ∫ x m   d A .

∫ x m d A = ∫ 0 h 1 2 a - b h y + b × a - b h y + b d y

Uma vez que na região y varia de 0 até h .

1 2 ∫ 0 h a - b 2 h 2 y 2 + 2 a - b b y h + b 2 d y

Fazendo a integral temos:

1 2 a - b 2 3 h 2 y 3 + a - b b h y 2 + b 2 y 0 h

Já aplicando o intervalo:

1 2 a - b 2 h 3 + a - b b h + b 2 h

h 2 a 2 - 2 a b + b 2 3 + a b - b 2 + b 2 = h 6 a 2 + a b + b 2

Logo x - será:

x - = ∫ x m   d A ∫ d A = h 6 [ a 2 + a b + b 2 ] a + b h 2 = ( a 2 + a b + b 2 ) 3 ( a + b )

Passo 4

Agora para calcular y - precisamos calcular ∫ y m   d A :

∫ y m   d A = ∫ 0 h y a - b h   y + b d y = ∫ 0 h a - b h   y 2 + b y d y  

a - b 3 h y 3 + b y 2 2 0 h

Aplicando o intervalo:

a - b 3   h 2 + b h 2 2 = h 2 a - b 3 + b 2 = h 2 2 a + b 6

Agora fazendo y - temos:

y - = ∫ y m   d A ∫ d A = h 2 2 a + b 6 a + b h 2 = h 2 a + b 3 ( a + b )

Resposta

x - , y - = a 2 + a b + b 2 3 a + b , h 2 a + b 3 ( a + b )

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