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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 40

Localize o centro de massa y - do cone circular formado girando-se a área sombreada em torno de eixo y . A densidade em qualquer ponto no cone é definida por ρ = ρ 0 h y , onde ρ 0 é uma constante.

Passo 1

Olha aí, galerinha! O centro de massa desse sólido está sobre o eixo y , pela simetria! O esquema dessa aí é parecido com o da questão 35, que tem tipo um cone. Então a idéia é dividir o cone em vários disquinhos paralelos à base. Eles vão ter raio z e estão à uma distância y da origem. Primeiro vamos calcular o volume de cada disquinho:

d m = ρ d V = ρ π z 2 d y

Pela figura a gente tira uma relação entre y e z !

z = a - a y h

Substituindo:

d m = ρ 0 h y π - a y h + a 2 d y

Elevando ao quadrado e botando o y pra dentro, vai ficar:

d m = π a 2 ρ 0 h y 3 h 2 + y - 2 y 2 h d y

Passo 2

Pra achar o centroide a gente só usa a fórmulinha que a gente já cansou de usar!

y - = ∫ y - d m ∫ d m

y - = ∫ y - π a 2 ρ 0 h y 3 h 2 + y - 2 y 2 h d y ∫ π a 2 ρ 0 h y 3 h 2 + y - 2 y 2 h d y

Cortando os termos constantes em comum, o famoso π a 2 ρ 0 h , vai ficar:

y - = ∫ 0 h y 4 h 2 + y 2 - 2 y 3 h d y ∫ 0 h y 3 h 2 + y - 2 y 2 h d y

Passo 3

Integrando, vai ficar:

y - = y 5 5 h 2 + y 3 3 - y 4 2 h 0 h y 4 4 h 2 + y 2 2 - 2 y 3 3 h 0 h

Substituindo os limites de integração:

y - = h 3 5 + h 3 3 - h 3 2 h 2 4 + h 2 2 - 2 3 h 2

y - = 2 h 5

Resposta

y - = 2 h 5

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17- Determine as coordenadas do centroide do segmento da área.
16- Determine as coordenadas do centroide da área sombreada.
18- Determine a coordenada x do centro de massa da barra de aço de seção variável e comprimento L , sendo que o diâmetro da extremidade mais larga é duas vezes o diâmetro da extremidade menor.
21- Determine as coordenadas x e y do centroide da área sombreada mostrada.
19- Determine a coordenada y do centroide da área sombreada.