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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 7ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 15

14- Localize o centroide da área sombreada mostrada.

Passo 1

Se traçarmos linhas horizontais preenchendo toda a região e formos somar sua áreas nós determinaremos a área total da região:

Seu comprimento será de:

L = x - 0

Onde x será:

y + 4 = x 2 4

4 y + 16 = x 2

x = 2 y + 4

Logo o comprimento será:

L = 2 y + 4

Como sua altura é d y logo sua área será:

d A = 2 y + 4 d y

Como y varia de -3 até 3,logo a área fica:

A = ∫ - 3 3 ( 2 y + 4 d y

Se substituirmos y + 4 para u , encontraremos d u = d y , logo:

∫ u   d u = 2 3 u 3 2

Voltando para o domínio em y teremos:

∫ 3 3 2 y + 4   d y = 2 2 3 y + 4 3 2 - 3 3 = 4 3 7 3 2 - 1 = 23.36

Passo 2

Como estamos analisando as linhas horizontais, logo seu y médio estará no próprio eixo y e o x médio será a média aritmética das funções:

Logo:

y m = y

x m = y + 4

Calculando x - :

∫ x m   d y = ∫ - 3 3 y + 4 ) 2 y + 4   d y = 2 ∫ - 3 3 y + 4 d y = 2 y 2 2 + 4 y - 3 3 = 2 9 2 + 12 - 2 9 2 - 12 = 48

Calculando então x - :

x - = ∫ x m   d A ∫ d A = 48 23.36 = 2.05

Passo 3

Agora calculando y - :

∫ y m d A = ∫ - 3 3 y × 2 y + 4 d y

Se substituirmos:

u = y + 4

d u = d y

E

y = u - 4

E o intervalo fica:

Para y = - 3 :

u = - 3 + 4 = 1

Para y = 3 :

u = 3 + 4 = 7

Logo a integral fica:

∫ y m   d A = 2 ∫ 1 7 u - 4 u   d u = 2 ∫ 1 7 ( u u - 4 u   ) d u = 2 ∫ 1 7 u 3 2 - 4 u 1 2 d u

∫ y m   d A = 2 2 5 u 5 2 - 8 3 u 3 2 1 7 = 4 5 7 5 2 - 16 3 7 3 2 - 4 5 + 16 3 = 9.47

Agora calculando o valor de y - :

y - = ∫ y m   d A ∫ d A = 9.47 23.36 = 0.405

Resposta

x - , y - = 2.05 ; 0.405

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Determine a massa e a localização do centro de massa x - da barra se sua massa por unidade de comprimento é m = m 0 ( 1 + x / L ) .
Determine a área e o centroide ( x - , y - ) da área.
Determine a área e o centroide x - ,y - da área.
Localize o centroide x - da área.
Localize o centroide ( x - ,y - ) da área.