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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 42

Determine o volume e a localização do centroide ( y - , z - ) do calço cônico homogêneo.

Passo 1

Aqui a idéia é a mesma, mas em vez de a gente considerar o disquinho de sempre, vai ser meio disquinho de raio r , distando y da origem, tá vendo? O volume dele é:

d V = π z 2 d y 2

A gente relaciona y e z pela figura:

d V = π 2 a 2 y 2 h 2 d y

d V = a 2 π 2 h 2 y 2 d y

Passo 2

O volume do sólido todo vai ser a integral do volume dos disquinhos!

V = ∫ d V

V = ∫ 0 h a 2 π 2 h 2 y 2 d y = a 2 π 2 h 2 y 3 3 0 h

V = π a 2 h 6

Passo 3

Aí pra achar o centroide a gente usa aquela formulinha clássica! Mas se liga antes: a posição do centro de massa é toda estranha nesse sólido! No eixo y a gente vê fácil que y - = y pela simetria, mas no eixo z a gente tem que achar o centro de massa da meia circunferência, que é z - = 4 z 3 π , que nem a gente viu lá na teoria. A gente sabe quem é z em função de y , pela figura!

y - = ∫ y - d V ∫ d V

y - = ∫ 0 h y a 2 π 2 h 2 y 2 d y π a 2 h 6 = a 2 π 2 h 2 π a 2 h 6 ∫ 0 h y 3 d y

y - = 3 h 3 y 4 4 0 h

y - = 3 h 4

Passo 4

Agora pro eixo z !

z - = ∫ z - d V ∫ d V

z - = ∫ 0 h 4 z 3 π π a 2 2 h 2 y 2 d y π a 2 h 6

Como z = a h y :

z - = ∫ 0 h 4 a y 3 π h π a 2 2 h 2 y 2 d y π a 2 h 6

z - = 2 a 3 3 h 3 ∫ 0 h y 3 d y π a 2 h 6

z - = 2 a 3 3 h 3 h 4 4 π a 2 h 6

Simplificando:

z - = a π

Resposta

Volume: V = π a 2 h 6 ;

Centróide: ( y - , z - ) = 3 h 4 , a π

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