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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 10

Determine a área e o centroide ( overset(-)(x) , overset(-)(y) ) da área.

Passo 1

Primeira vamos encontrar a área do nosso elemento diferencial, que é a área em cinza na figura:

Essa área é dada por:

d A = y ⅆ x

Sabendo que y = x^3 , nosso d A fica:

d A = x^3 d x

Para o centroide do nosso elemento diferencial, overset(-)(x) será o próprio overset(-)(x) = x , enquanto que para o overset(-)(y) teremos:

overset(-)(y) = (y)/(2)

overset(-)(y) = (x^3)/(2)

Passo 2

Vamos encontrar nossa área:

A = int_A ⅆ A

A = int_0^(1 m) x^3 d x = (1)/(4) (x^4|_0^(1 m) = (1)/(4) m^2 = 0 , 25 m^2

Passo 3

E agora encontramos nosso centroide.

Para overset(-)(x) temos:

overset(-)(x) = (int_A overset(-)(x) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(x) = (int_0^1 x (x^3 ⅆ x))/(1 // 4) = (int_0^(1 m) x^4 ⅆ x)/(1 // 4) = ((((1)/(5) x^5)|_0^(1 m))/((1)/(4)) = (4)/(5) m = 0,8 m

E para overset(-)(y) teremos:

overset(-)(y) = (int_A overset(-)(y) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(y) = (int_0^(1 m) y (x^3 ⅆ x))/(1 // 4) = (int_0^(1 m) ((x^3)/(2)) (x^3 ⅆ x))/(1 // 4) = (((x^7)/(7)|_0^(1 m))/((1)/(2)) = (2)/(7) m = 0,2857 m

Resposta

A = 0,25 m^2

overset(-)(x) = 0,8 m

overset(-)(y) = 0,2857 m

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Localize o centroide y - da área.
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