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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 16

Localize o centroide ( overset(-)(x) , overset(-)(y) ) da área.

Passo 1

Nosso Elemento Diferencial é a área do elemento mostrado em cinza na figura:

Essa área é dada por:

d A = y ⅆ x

Sabendo que y = ( 1 - (1)/(4) x^2 ) , nosso d A fica:

d A = (1 - (1)/(4) x^2) d x

O centroide do nosso elemento diferencial em overset(-)(y) será:

overset(-)(y) = (y)/(2)

overset(-)(y) = (1)/(2) (1 - (1)/(4) x^2) :. overset(-)(y) = (1)/(2) - (1)/(8) x^2

Passo 2

Vamos encontrar nossa área:

A = int_A ⅆ A

A = int_(- 2)^2 (1 - (1)/(4) x^2) ⅆ x

A = ((x - (x^3)/(12))|_(- 2)^2 :. A = (8)/(3)

Passo 3

E agora encontramos nosso centroide.

Como nossa figura é simétrica, teremos overset(-)(x) = 0 m .

Enquanto que para overset(-)(y) :

overset(-)(y) = (int_A overset(-)(y) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(y) = (int_(- 2)^2 ((1)/(2) - (1)/(8) x^2) ((1 - (1)/(4) x^2) ⅆ x))/((8)/(3))

overset(-)(y) = ((((x)/(2) - (x^3)/(12) + (x^5)/(160))|_(- 2)^2)/((8)/(3)) = :. overset(-)(y ) = (2)/(5)

Resposta

overset(-)(x) = 0 m

overset(-)(y ) = (2)/(5) m

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Calcule o centroide da área a seguir: