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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 9

Determine a área e o centroide (overset(-)(x) , overset(-)(y)) da área.

Passo 1

Vamos começar enxergando nosso elemento diferencial, ele é a área em cinza na figura:

Essa área é dada por:

d A = y ⅆ x

E nosso d A fica:

d A = x^(3 // 2) d x

O centroide do nosso elemento diferencial overset(-)(x) será o próprio overset(-)(x) = x , enquanto que para o overset(-)(y) teremos:

overset(-)(y) = (y)/(2)

overset(-)(y) = (x^((3)/(2)))/(2)

Passo 2

Encontrando nossa área teremos:

A = int_A ⅆ A

A = int_0^(1 m) x^((3)/(2)) d x = (2)/(5) (x^(5 ∕ 2)|_0^(1 m) = (2)/(5) m^2 = 0,4 m^2

Passo 3

Vamos agora para nosso centroide.

Para overset(-)(x) temos:

overset(-)(x) = (int_A overset(-)(x) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(x) = (int_0^1 x (x^(3 // 2) ⅆ x))/(2 // 5) = (int_0^(1 m) x^(5 // 2) ⅆ x)/(2 // 5) = ((((2)/(7) x^(7 // 2))|_0^(1 m))/(2 // 5) = (5)/(7) m = 0,714 m

E para overset(-)(y) teremos:

overset(-)(y) = (int_A y ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(y) = (int_0^(1 m) ((x^(3 ∕ 2))/(2)) (x^(3 ∕ 2) ⅆ x))/(2 // 5) = (int_0^(1 m) (x^3)/(2) ⅆ x)/(2 ∕ 5) = (((x^4)/(8)|_0^(1 m))/(2 // 5) = (5)/(16) m = 0,3125 m

Resposta

A = 0,4 m^2

overset(-)(x) = 0,714 m

overset(-)(y) = 0,3125 m

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