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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 5

Determine a massa e a localização do centro de massa x -   da barra se sua massa por unidade de comprimento é m = m 0 ( 1 + x / L ) .

Passo 1

Vamos começar enxergando nosso elemento diferencial, ele é o comprimento do elemento mostrado na figura, nesse exercício precisamos apenas do eixo x .

Vamos encontrar a massa da nossa barra integrando todos os pedacinhos d m ao longo dela:

m = ∫ m ⅆ m

Podemos escrever essa integral como:

∫ m ⅆ m = ∫ L m   d x

Assim, substituindo pela função dada no enunciado:

m = ∫ 0 L m 0 1 + x L ⅆ x =

Resolvendo essa integral temos nossa massa:

m = 3 2 m 0 L

Passo 2

Vamos agora para o centroide, sabemos que:

x - = ∫ x ⅆ m m

Então:

x - = ∫ 0 L x m 0 1 + x L ⅆ x m

x - = ∫ 0 L m 0 x 1 + x L ⅆ x m 0 3 2 L

x - = 2 3 L ∫ 0 L x + x 2 L ⅆ x

x - = 2 3 L x 2 2 + x 3 3 L 0 L

x - = 2 3 L L 2 2 + L 3 3 L

x - = 5 9 L

Resposta

x - = 5 9 L

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